KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.7. KOVARIJANTNE I KONTRAVARIJANTNE KOMPONENTE VEKTORA 55
a
R, θ 1 , θ 2 , · · · , θ D−1
neka su sferne koordinate u D-dimenzijskom prostoru. Veza medu njima je dana relacijama
x 1 = R cos θ 1 ,
x 2 = R sin θ 1 cos θ 2 ,
x 3 = R sin θ 1 sin θ 2 cos θ 3 ,
Odgovarajući integrali se računaju kao
∫
∫ ∫ ∞
∫
d D x = d Ω D R D−1 d R =
0
∫
∫ 2π ∫ π
d Ω D = d θ 1 sin θ 2 d θ 2 · · ·
0
.
x D−1 = R sin θ 1 sin θ 2 · · · sin θ D−2 cos θ D−1 ,
x D = R sin θ 1 sin θ 2 · · · sin θ D−2 sin θ D−1 .
0
d Ω D−1
(
sin θ D−1
) D−2
d θD−1
∫ ∞
∫ π
0
(
sin θ D−1
) D−2
d θD−1 = 2 π D/2
Γ(D/2) .
2.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora
Naka su u trodimenzijskom prostoru zadana tri nekomplanarna vektora
⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 .
0
R D−1 d R,
Ovi vektori ne moraju biti medusobno okomiti i ne moraju biti jedinične duljine. Pomoću ovih
vektora se može proizvoljni vektor ⃗ V napisati u obliku njihove linearne kombinacije
⃗V = V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3
(primjetimo da sada V 2 ne znači V · V , nego je to samo oznaka za drugu komponetu vektora).
Pomoću vektora ⃗e j definiramo novi skup vektora
⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ,
tako da vektor ⃗e i bude okomit na ravninu u kojoj leže vektori ⃗e j i ⃗e k (gdje i, j, k označavaju
ciklični redoslijed . . . , 2, 3, 1, 2, 3, . . .)
U tom slučaju za skalarne umnoške vrijedi
⃗e i = const. ⃗e j × ⃗e k .
⃗e i · ⃗e i = const. (⃗e j × ⃗e k ) · ⃗e i = const. V
⃗e i · ⃗e j = const. (⃗e j × ⃗e k ) · ⃗e j = 0 i ≠ j
gdje je volumen V = (⃗e j ×⃗e k )·⃗e i , a nula u drugoj jednadžbi dolazi od okomitosti (⃗e j ×⃗e k ) ⊥ ⃗e j .
Odaberemo li konstantu u gornjim izrazima tako da bude const. = V −1 , može se jednostavno
napisati
⃗e i = 1 V ⃗e j × ⃗e k , ⃗e i · ⃗e j = δ i,j .