KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

440 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA
Za elipsu je zbroj udaljenost svake njezine točke od oba fokusa jednak 2a. Točka W je jednako
udaljena od oba fokusa, pa je zato
OW + O ′ W = 2a, OW = O ′ W, ⇒ O ′ W = OW = a.
Gore dobivene vrijednosti za c i OW možemo uvrstiti u
(OW ) 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = b 2 + a 2 ɛ 2 ⇒ ɛ =
√
a2 − b 2
Za one koji se bolje snalaze u pravokutnom koordinatnom sustavu, prevedimo jednadžbu (B.6)
u pravokutne koordinate (x, y) ravnine. Umjesto ρ pišemo √ x 2 + y 2 , a umjesto cos ϕ =
x/ √ x 2 + y 2 . Nakon kraćeg sredivanja, se dobije
( ) 2 ( ) 2 x + ɛa y
+
a a √ = 1.
1 − ɛ 2
Prisjetimo li se da je c = aɛ, a iz jednadžbe za ekscentricitet slijedi da je manja poluos b =
a √ 1 − ɛ 2 , vidimo da gornja jednadžba prikazuje elipsu sa središtem u točki (−c, 0) i poluosima
a i b
( ) 2 x − (−c)
( y
) 2
+ = 1.
a b
U posebnom slučaju kada je a = b, elipsa degenerira u kružnicu (c = ɛ = 0).
Elipsa se dobije presjecanjem stošca ravninom koja nije paralelnom niti s bazom niti s izvodnicom
stošca.
a
< 1.
Parabola: ɛ = 1 .
Parabola se definira kao skup točaka u ravnini kojima je udaljenost do fiksne točke (fokusa)
jednaka udaljenosti do fiksnog pravca (direktrise), slika B.3. U našim oznakama to znači da
je ρ = d, tj. prema (B.2) je ɛ = 1. S obzirom da već imamo izvedenu jednadžbu elipse,
do jednadžbe parabole možemo doći graničnim prijelazom elipse kojoj velika poluos divergira
a → ∞ (što je ekvivalentno zahtjevu ɛ = 1, jer za veliki a, iz √ a 2 − b 2 = aɛ, slijedi ɛ = 1) uz
uvjet da je, prema (B.5),
p = a(1 − ɛ 2 ) = const.
Tada jednadžba parabole (u polarnim koordinatma) glasi
ρ =
p
1 + cos ϕ . (B.7)
Prijelazom iz polarnih u pravokutne koordinate, kao kod elipse, dobivamo gornju jednadžbu u
obliku
y 2 = p 2 − 2px.
Parabola se dobije presjecanjem stošca ravninom paralelnom s izvodnicom stošca. .....
Hiperbola: ɛ > 1 .