KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.1. VREMENSKA PROMJENA VEKTORA 231
8.1, a iznos kutne brzine vrtnje neka je ω = d ϕ/d t (⃗ω ne mora biti konstanta u vremenu).
Sa ⃗ U označimo bilo koji konstantni vektor u (x, y, z) sustavu. Kasnije ćemo ⃗ U identificirati
s ˆx , ŷ ili ẑ . Gledano iz (X, Y, Z) sustava, ⃗ U će se, uslijed vrtnje sustava (x, y, z) oko osi ⃗ω
nepomične u (X, Y, Z) sustavu, mijenjati po smjeru, ali ne i po iznosu. Rastavimo vektor ⃗ U na
dvije komponente: okomitu i paralelnu u odnosu na ⃗ω (slika 8.2.A)
⃗U = ⃗ U ⊥ + ⃗ U ‖ ,
⃗U ‖ = ˆω · (ˆω · ⃗U),
⃗U ⊥ = ⃗ U − ˆω · (ˆω · ⃗U).
Primjetimo da je, gledano iz nepomičnog (inercijskog) sustava,
Slika 8.2: (A) Rastav vektora ⃗ U na komponente paralelne i okomite na ⃗ω . (B) Zakret sustava. (C) Hvatište
vektora ⃗ V nije na osi vrtnje.
⃗U(t) = ⃗ U ⊥ (t) + ⃗ U ‖ ,
tj. s vremenom se mijenja samo okomita, ali ne i paralelna komponenta vektora ⃗ U. Definirajmo
novi pomoćni vektor ⃗ b tako da bude okomit i na ⃗ U ⊥ i na ⃗ω
⃗ b = ˆω × ⃗ U⊥
b = U ⊥ .
Da bismo izračunali vremensku promjenu (derivaciju) U ⊥ (t), postupamo ovako: za kratko vrijeme
d t, sustav (x, y, z) će se zakrenuti za dϕ = ω d t u odnosu na nepomični sustav (slika
8.2.B). Sa slike se vidi da je
⃗U ⊥ (t + ∆ t) = cos ω∆ t · U ⊥ (t) Û⊥(t) + sin ω∆ t · U ⊥ (t) ˆb(t),
= cos ω∆ t · ⃗U ⊥ (t) + sin ω∆ t ·⃗b (t),
⃗U ⊥ (t + ∆ t) − U ⃗ ⊥ (t) = (cos ω∆ t − 1) · ⃗U ⊥ (t) + sin ω∆ t ·⃗b (t).