KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.6. LAGRANGEOVA FUNKCIJA NAELEKTRIZIRANE ČESTICE U ELEKTROMAGNETSKOM POLJU 403
Izračunajmo x komponentu vektorskog umnoška
[
−→
]
˙⃗r × ( ∇ × A ⃗ ) = ẏ ( −→ ∇ × A ⃗ ) z − ż ( −→ ∇ × A ⃗ ) y
x
( ∂Ay
= ẏ
∂x − ∂A ) (
x ∂Ax
− ż
∂y ∂z − ∂A )
z
∂x
= ẏ ∂A y
∂x − ẏ ∂A x
∂y − ż ∂A x
∂z + ż ∂A z
∂x
( ∂Ax
= −
∂x ẋ + ∂A x
∂y ẏ + ∂A )
x
ż +
∂z
± ẋ ∂A x
∂x
(
ẋ ∂A x
∂x + ẏ ∂A y
∂x + ż ∂A z
∂x
Prisjetimo li se da su ˙⃗r i ⃗r medusobno neovisne varijable, tada u drugom članu desne strane gornjeg
izraza prepozanjemo ∂ x ( ˙⃗r ⃗ A ). Prvi član desne strane, povezujemo s ukupnom vremenskom
promjenom A x (x, y, z; t)
što sve zajedno daje
d A x
d t
[
˙⃗r × (
−→ ∇ × ⃗ A )
]
= ∂A x
∂x ẋ + ∂A x
∂y ẏ + ∂A x
∂z ż + ∂A x
∂t ,
x
=
( ∂Ax
∂t
Sada se možemo vratiti izrazu za x komponentu sile
[
F L,x = Q − ∂V
∂x − ∂A x
+ ∂A x
− d A x
+ ∂ ]
∂t ∂t d t ∂x ( ˙⃗r A ⃗ )
− d A )
x
+ ∂
d t ∂x ( ˙⃗r A ⃗ ).
[ ∂
= Q
∂x ( ˙⃗r A ⃗ − V ) − d A ]
x
.
d t
Primjetimo da skalarni i vektorski potencijali ovise samo o prostornim koordinatama i vremenu
V = V (⃗r; t), ⃗ A = ⃗ A (⃗r; t), ali ne i o brzinama, pa je zato
pomoću gornjeg izraza je i
A x = ∂
∂ẋ (ẋ A x + ẏ A y + ż A z − V ) = ∂
∂ẋ ( ˙⃗r ⃗ A − V ).
d A x
d t
= d d t
∂
∂ẋ ( ˙⃗r ⃗ A − V ).
Sada se izraz za F L,x može napisati kao
[ ∂
F L,x = Q
∂x ( ˙⃗r A ⃗ − V ) − d ]
∂
dt ∂ẋ ( ˙⃗r A ⃗ − V ) .
Nazove li se potencijalnom energijom slijedeći izraz
E p (⃗r, ˙⃗r, t) = Q
[V (⃗r, t) − ˙⃗r
]
· A ⃗ (⃗r, t) , (14.21)
)
dobili smo potencijalnu energiju, koja osim o položaju, ovisi i o brzini čestice. Za x komponentu
Lorentzove sile se dobiva
F L,x = − ∂ E p
∂x + d ( ) ∂ Ep
dt ∂ẋ