KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.1. HAMILTONOVE JEDNADŽBE 413
za sve s = 1, 2, · · · , S. Primjetimo simetriju (do na predznak) jednadžba na zamjenu q s i
p s . Kao što vidimo, Hamiltonove su jednadžbe prvog reda, ali ih ima dvostruko više nego
Lagrangeovih.
Fizičko značenje
Pogledajmo sada koje je fizičko značenje Hamiltonove funkcije? Neka je sustav konzervativan
(tako da je L = E k − E p ) i neka lagranžijan (pa time i hamiltonijan) ne ovisi eksplicitno o
vremenu. Pokažimo da je u tom slučaju kinetička energija kvadratna funkcija poopćenih brzina.
Krenimo od kinetičke energije sustava N čestica, napisane u pravokutnim koordinatama
E k = 1 2
N∑
j=1
m j ˙⃗r
2
j = 1 2
N∑
m j (ẋ 2 j + ẏ 2 j + ż 2 j)
i prevedimo ju u poopćene koordinate. Za koordinete x j reonomnog sustava, vrijedi
x j = x j (q 1 , q 2 , · · · , q S ; t)
ẋ j =
S∑ ∂ x j
˙q s + ∂ x j
∂ q s ∂ t
ẋ 2 j =
=
s=1
( S∑
s=1
S∑ S∑
s=1
Sličan račun za y j i z j daje
ẏ 2 j =
ż 2 j =
Uvedu li se pokrate
S∑
s=1
S∑
s=1
a s,p = 1 2
a s =
b = 1 2
N∑
j=1
kinetička je energija jednaka
∂ x j
˙q s + ∂ x j
∂ q s ∂ t
p=1
S∑
p=1
S∑
p=1
N∑
j=1
m j
N∑
j=1
E k =
m j
m j
∂ x j
∂ q s
∂ y j
∂ q s
∂ z j
∂ q s
∂ x j
∂ q p
∂ y j
∂ q p
∂ z j
∂ q p
( ∂ xj
( ∂ xj
S∑
s=1
∂ q s
j=1
) ( S∑
p=1
˙q s ˙q p + 2 ∂ x j
∂ t
˙q s ˙q p + 2 ∂ y j
∂ t
˙q s ˙q p + 2 ∂ z j
∂ t
∂ x j
∂ q p
+ ∂ y j
∂ q s
∂ x j
+ ∂ y j
∂ q s ∂ t
∂ t
[ (∂ ) 2 xj
+
∂ t
S∑
p=1
a s,p ˙q s ˙q p +
∂ x j
˙q p + ∂ x j
∂ q p ∂ t
S∑
s=1
S∑
s=1
S∑
s=1
)
∂ x j
∂ q s
˙q s +
∂ y j
∂ q s
˙q s +
∂ z j
∂ q s
˙q s +
∂ y j
∂ q p
+ ∂ z j
∂ q s
∂ y j
+ ∂ z j
∂ q s ∂ t
( ) 2 ∂ yj
+
∂ t
( ) 2 ∂ xj
.
∂ t
( ) 2 ∂ yj
,
∂ t
( ) 2 ∂ zj
.
∂ t
)
∂ z j
= a p,s ,
∂ q p
)
∂ z j
,
∂ q s
( ) ] 2 ∂ zj
,
∂ t
S∑
a s ˙q s + b.
s=1