KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.6. SFERNI KOORDINATNI SUSTAV 49
Veze pravokutnih i sfernih koordinata se dobivaju elementarnom trigonometrijom
x = r sin θ cos ϕ, r = √ x 2 + y 2 + z 2 ,
y = r sin θ sin ϕ,
z
θ = arccos √
x2 + y 2 + z , 2 (2.64)
z = r cos θ, ϕ = arctan y x .
Svakoj od koordinata r, θ i ϕ, se pridružuju jedinični vektori smjera ˆr , ˆθ i ˆϕ , koji su usmjereni
u pravcu porasta odgovarajuće koordinate (slika 2.19) uz konstantne vrijednosti preostale dvije
koordinate. Npr. ako radij vektoru ⃗r povećavamo koordinatu r za infinitezimalni iznos dr, pri
čemu kutove θ i ϕ držimo konstantnim, rezultantni vektor
⃗r(r + dr, θ, ϕ) − ⃗r(r, θ, ϕ)
ima smjer ˆr . Ako gornji vektor pomnožimo skalarom 1/dr i izvedemo granični prijelaz dr → 0,
smjer vektora će i dalje biti smjer ˆr . No, prema definiciji derivacije, dobiveni izraz je upravo
derivacija ⃗r po r
ˆr ∼ lim
dr→0
⃗r(r + dr, θ, ϕ) − ⃗r(r, θ, ϕ)
dr
=
( ) ∂ ⃗r
.
∂ r
θ,ϕ
Je li gornji vektor naš traženi vektor ˆr ? Ne nužno. Naime, gornji vektor ne mora biti jediničnog
iznosa. No, poznato je (relacija (2.1)) kako se od proizvoljnog vektora napravi jedinični vektor
istog smjera: treba ga jednostavno podijeliti njegovom normom
ˆr =
( ∂ ⃗r
∂ r
)
θ,ϕ
/ ∣ ∣∣∣∣ ( ∂ ⃗r
∂ r
Na sličan način se odreduju i preostala dva jedinična vektora ˆθ i ˆϕ
( ) / ∣
∂ ⃗r
∣∣∣∣ ( )
∂ ⃗r
( ) / ∣ ∂ ⃗r ∣∣∣∣ ( ) ∂ ⃗r
ˆθ =
∂ θ
∂ θ ∣ , ˆϕ = ∂ ϕ
∂ ϕ
r,ϕ
r,ϕ
Izračunajmo ove jedinične vektore, koristeći vezu s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.64)
i ⃗r = xˆx + yŷ + zẑ . Krenimo s jediničnim vektorom ˆr
( ) ∂ ⃗r
= ∂ (
)
xˆx + yŷ + zẑ
∂ r
θ,ϕ
∂ r
θ,ϕ
=
[ˆx ∂ ∂ r (r sin θ cos ϕ) + ŷ ∂ ∂ r (r sin θ sin ϕ) + ẑ ∂ ]
∂ r (r cos θ)
)
θ,ϕ
= ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ.
Sada još treba izračunati iznos gornjeg vektora
( )
∂ ⃗r
√
∣ ∂ r ∣ = sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ = 1,
pa je
θ,ϕ
ˆr = ˆr (θ, ϕ) = ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ. (2.65)
∣ .
r,θ
r,θ
∣ .
θ,ϕ