KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

34 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
konstantnom gustoćom σ 0 , postupkom kao gore, dobilo bi se
1 · R 2 π E = 1 ɛ 0
σ 0 R 2 π
⃗E = σ 0
ɛ 0
ˆx . (2.37)
(Kasnije ćemo pokazati da je u unutrašnjosti vodiča polje jednako nuli.)
Ako su zadane dvije beskonačno velike i beskonačno tanke paralelno postavljnene ravnine naelektrizirane
konstantnim gustoćama naboja σ 1 i −σ 2 , tada su iznosi polja od pojedinih ploča
jednaki
E 1 = σ 1
, E 2 = σ 2
, (2.38)
2 ɛ 0 2 ɛ 0
a smjerovi su prikazani na slici. Izvan ploča su silnice antiparalelne, pa je
Unutar ploča su silnice paralelne, pa je
E out = σ 1 − σ 2
2 ɛ 0
. (2.39)
E in = σ 1 + σ 2
2 ɛ 0
. (2.40)
Specijalno, ako je σ 1 = σ 2 = σ 0 , polje izvan ploča je jednako nuli, a polje unutar ploča je
E in = σ 0
ɛ 0
. (2.41)
To je upravo polje ravnog pločastog kondenzatora (o kojemu ćemo govoriti kasnije).
Primjer: 2.7 Da bismo izračunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo koncentričnu
sferu, ali je ona sada polumjera r > R.
∫
E out (r) ˆr r 2 dΩ ˆr = 1 ∫
ρ 0 d 3 r
ɛ 0
E out (r) r 2 4 π = 1 4
ɛ 0 3 R3 π ρ 0 = Q ɛ 0
⃗E out = 1 Q ˆr . (2.42)
4 π ɛ 0 r2 Polje izvan kugle opada s udaljenošću od središta. i isto je kao polje točkastog
naboja iznosa jednakog ukupnom naboju kugle Q = ρ 0 (4/3)R 3 π.
2.4.4 Rotacija: Stokesov teorem
Promatrajmo linijski integral proizvoljnog vektorskog polja V ⃗ (⃗r) po zatvorenoj usmjerenoj
krivulji C. Krivulja ne mora ležati u ravnini, a pozitivnim smjerom obilaska krivulje se naziva
smjer suprotan gibanju kazaljke na satu. Takav se integral naziva cirkulacija polja V ⃗ (⃗r) i
označava se s Γ
∮
Γ = ⃗V (⃗r) d⃗r.
C