KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.1. TENZOR TROMOSTI 357
što, raspisano po komponentama, vodi na slijedeći sustav
∑ N N∑
L x = ω x m j rj 2 − m j (x j ω x + y j ω y + z j ω z ) x j ,
j=1
L y = ω y
N
∑
j=1
L z = ω z
N
∑
j=1
m j r 2 j −
m j r 2 j −
j=1
N∑
j=1
N∑
j=1
m j (x j ω x + y j ω y + z j ω z ) y j ,
m j (x j ω x + y j ω y + z j ω z ) z j .
Gornji se sustav može napisati i preglednije, tako što će se izdvojiti komponente kutne brzine
∑ N N∑
N∑
L x = ω x m j (yj 2 + zj 2 ) + ω y (−) m j x j y j + ω z (−) m j x j z j ,
j=1
L y = +ω x (−)
L z = +ω x (−)
N∑
j=1
N∑
j=1
m j x j y j + ω y
N
∑
j=1
m j z j x j + ω y (−)
j=1
m j (x 2 j + z 2 j ) + ω z (−)
N∑
j=1
m j z j y j + ω z
N
∑
j=1
j=1
N∑
j=1
m j y j z j ,
m j (x 2 j + y 2 j ).
Umnoške mase s kvadratom koordinata, prepoznajemo kao momente tromosti (usporediti s
(12.3)). Označimo s I xx , I yy , I zz (aksijalne) momente tromosti oko osi x, y i z
N∑
∫
I xx = m j (yj 2 + zj 2 ) → (y 2 + z 2 ) ρ m (x, y, z) dx dy dz,
I yy =
I zz =
j=1
N∑
j=1
N∑
j=1
m j (x 2 j + z 2 j )
m j (x 2 j + y 2 j )
→
→
∫
∫
(x 2 + z 2 ) ρ m (x, y, z) dx dy dz,
(x 2 + y 2 ) ρ m (x, y, z) dx dy dz.
Veličine I αβ ćemo nazvati devijacijski ili centrifugalni momenti ili umnošci tromosti
N∑
∫
I xy = I yx = − m j x j y j → − x y ρ m (x, y, z) dx dy dz, (13.1)
I xz = I zx = −
I yz = I zy = −
j=1
N∑
j=1
N∑
j=1
∫
m j x j z j → −
∫
m j y j z j → −
x z ρ m (x, y, z) dx dy dz,
y z ρ m (x, y, z) dx dy dz.
Naveli smo i integralne izraze za momente i umnoške tromosti, koji se dobiju na uobičajeni
način prijelazom sa zbroja na integral:
∑
∫
∫
f(j)m j → f(⃗r) dm(⃗r) = f(⃗r) ρ(⃗r) d 3 r.
j