KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUSTAVI ČESTICA 257
tada je i
d ⃗q 1 = ∂⃗r (
dq 1 = ˆx ∂x + ŷ ∂y + ẑ ∂z )
∂q 1 ∂q 1 ∂q 1 ∂q
(
1
d ⃗q 2 = ∂⃗r
∂q 2
dq 2 =
d ⃗q 3 = ∂⃗r
∂q 3
dq 3 =
ˆx ∂x
∂q 2
+ ŷ ∂y
∂q 2
+ ẑ ∂z
∂q 2
)
(
ˆx ∂x
∂q 3
+ ŷ ∂y
∂q 3
+ ẑ ∂z
∂q 3
)
Uvrštavanjem gornjeg izraza u izraz za diferencijal volumena i koristeći zapis mješovitog umnoška
pomoću determinante, dobiva se
dq 1
dq 2 .
dq 3 .
∂x
∂y
∂z
∂q 1
∂q 1
∂q 1
dV =
∂x
∂q 2
∂x
∂q 3
∂y
∂q 2
∂y
∂q 3
∂z
dq 1 dq 2 dq 3 .
∂q 2
∂z
∂q 3
Gornja se determinanta naziva jakobijan ili Jacobi-jeva 1 determinanta i označava se sa
J =
∂(x, y, z)
∂(q 1 , q 2 , q 3 ) .
U poopćenim koordinatama je
∫
m(V 0 ) = ρ m (q 1 , q 2 , q 3 ) J dq 1 dq 2 dq 3 , (10.1)
V 0
a sam obujam volumena je
∫
V 0 = J dq 1 dq 2 dq 3 .
V 0
Primjer: 10.1 Izračunajte masu kugle polumjera R, čija se masena gustoća ρ m mijenja kao
ρ m (⃗r) = ρ 0 (r/R) 2 , gdje je ρ 0 konstanta, a r je udaljenost od središta kugle.
R: U ovom primjeru možemo sferne koordinate shvatiti kao poopćene koordinate
što daje jakobijan
q 1 = r, q 2 = θ, q 3 = ϕ,
J = r 2 sin θ.
Prema izrazu za masu (10.1), slijedi
∫ R ∫ ( r
) 2
∫
m = r 2 ρ R
0
dr dΩ ρ 0 = 4π r 4 dr = 4π
0
Ω R R 2 5 ρ 0R 3 .
0