KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.4.
PRIGUŠENI HARMONIJSKI OSCILATOR 137
ukupno rješenje je njihova linearna kombinacija
x(t) = a x 1 (t) + b x 2 (t), a, b = const.
= a e −γ t + b t · e −γ t = e −γ t (a + b t).
Konstante a i b se odreduju iz početnih uvjeta. Ovo je granični slučaj neperiodičkog gibanja.
Za male t, eksponencijalni je član približno jednak jedan, pa x(t) linearno raste s t. Kasnije
eksponencijalni član postaje dominantan i cijelo rješenje eksponencijalno trne. Kao rezultat
kompeticije ova dva člana, vremenska će ovisnost otklona od položaja ravnoteže, x(t), izgledati
kao na slici 6.5. Koordinate maksimalnog otklona (t max , x max ), odredujemo iz uvjeta
7
Slika 6.5: Titranje uz D 2 = 0. Otklon je x(t) = e −0.5 t (1 + 8 t).
6
5
x ( t )
4
3
2
1
t max
0
0 5 10 15 20 25 30
t
d x
d t = 0 ⇒ t max = b − γ a , x max = x(t max ) = b b γ
γ e −(1−γ a/b) .
(D 2 < 0) Ako je D 2 = γ 2 − ω0 2 < 0, tada je u početnim oznakama β 2 < 4mK; to je granica
slabog prigušenja.
√
b ± = −γ ± i ω0 2 − γ 2
( √
√ )
x(t) = e −γ t a + e it ω0 2−γ2 + a − e −it ω0 2−γ2 .
Nazovemo li ω = √ ω0 2 − γ 2 , rješenje za otklon x(t) možemo napisati kao
⎡
⎤
x(t) = e −γ t ⎢
⎥
⎣ (a + + a − ) cos ωt + ı(a
} {{ }
+ − a − ) sin ωt⎦ .
} {{ }
= C
= S
Uz oznake
A 0 = √ C 2 + S 2 , tan Φ = S C ,