KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 319
Početni uvjeti:
Nepoznate konstante a n i b n ćemo odrediti iz početnih uvjeta na položaj i brzinu svakog elementa
niti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):
∫ L
0
ψ(x, t = 0) = f 0 (x) =
∞∑
n=1
f 0 (x) cos mπx
L dx = ∞
∑
n=1
cos nπx
L a n,
/∫ L
0
cos mπx
L
∫ L
a n cos nπx mπx
cos
0 L L
dx = L 2 a m.
} {{ }
= (L/2) δ n,m
dx
a n = 2 L
∫ L
0
f 0 (x) cos nπx
L
Primjenimo sada početni uvjet na brzinu u trenutku t = 0
∂ψ(x, t)
∞∑
g 0 (x) = ∂t ∣ = cos nπx
t=0
L
b nπv f
n
L
∫ L
0
n=1
g 0 (x) cos mπx
L dx = ∞
∑
n=1
= mπv f
2
nπv f
L
b m .
b n
∫ L
Za poznatu funkciju g 0 (x), koeficijenti b n se računaju iz
b n = 2
nπv f
∫ L
0
dx.
cos nπv f
L
/∫ L
0
} {{ }
g 0 (x) cos nπx
L
= (L/2) δ n,m
dx.
0
cos mπv f
L
dx
cos mπx
L
dx
Ukupno rješenje za amplitudu titranja dobijemo uvrštavanjem eksplicitnih izraza za a n i b n
∞∑
ψ(x, t) = cos nπx {[ ∫ 2 L
·
f 0 (z) cos nπz ]
L L L dz cos nπv ft
L
n=1
11.2.7 Energija titranja napete niti
+
0
[ 2
nπv f
∫ L
0
g 0 (z) cos nπz ]
L dz sin nπv ft
L
Titranje napete niti je pojava koja sadrži odredenu energiju. To je kinetička energija uslijed
gibanja pojedinih dijelova niti i to je potencijalna energija uslijed deformacije dijelova niti na
koju djeluje elastična sila od ostatka niti.
}
.
Kinetička energija:
Kinetička energija dijela niti duljine ds i mase d m = λ 0 d s potječe od njegovog gibanja u
okomitom smjeru. Otklon u okomitom smjeru opisuje varijabla ψ(x, t), pa je zato
d E k = 1 2 dm v2 = 1 2 (λ 0 d s)
( ∂ ψ
∂ t
) 2
.