KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.1. TENZOR TROMOSTI 361
glavnih osi krutog tijela, a jedinične vektore tog sustava ćemo označiti s ê j (slika 13.3).
Budući da je I realna i simetrična matrica, vektori ê j su medusobno okomiti. Naravno da
Slika 13.3: Glavne osi krutog tijela: ê 1 , ê 2 , ê 3 .
je taj sustav čvrsto vezan s krutim tijelom i rotira zajedno s njim. Centrifugalni momenti, u
sustavu glavnih osi, su jednaki nuli i zato će tijelo koje se u početnom trenutku vrtjelo oko
jedne od glavnih osi, nastaviti vrtnju oko te osi sve dok vanjske sile ne promjene smjer vrtnje.
Da bi se našle dijagonalne vrijednosti I j i smjerovi glavnih osa ê j , treba riješiti algebarski problem
dijagonalizacije matrice, tj. naći njezine svojstvene vrijednosti I j i pripadajuće svojstvene
vektore ê j
I ê j = I j ê j →
] [I − 1 I j ê j = 0,
(s 1 je označena 3× 3 dijagonalna matrica s jedinicama na dijagonali i nulama izvan dijagonale).
Gornja jednadžba ima rješenje ê j ≠ 0 ako determinata matrice (I − 1 I j ) iščezava
∣ I xx − I j I xy I xz ∣∣∣∣∣ I yx I yy − I j I yz = 0.
∣ I zx I zy I zz − I j
Gornja jednadžba je algebarska jednadžba trećeg reda za nepoznanice I j . Zbog realnosti i
simetrije elemenata matrice I, ona ima tri realna rješenja I j koja zovemo glavni momenti
tromosti . Njima su pridružena tri ortonormirana svojstvena vektora ê j koja zovemo glavne
osi krutog tijela
I ê j = I j ê j ,
ê i · ê j = δ i,j , i, j = 1, 2, 3.
Smjerovi glavnih osi odgovaraju smjerovima simetrije krutog tijela. Nedijagonalni elementi
I i,j iščezavaju samo ako se u izrazu
I i,j = I j,i = −
N∑
m n r i,n r j,n
n=1