KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.7. DVODIMENZIJSKI HARMONIJSKI OSCILATOR 157
Ako sada gornje dvije jednadžbe kvadriramo i zbrojimo, vrijeme t nestaje iz jednadžbe i preostaje
( ) 2 x
− 2 xy
( ) 2 y
cos(Φ x − Φ y ) + = sin 2 (Φ x − Φ y ). (6.54)
A x A x A y A y
Gornja jednadžba predstavlja elipsu u ravnini (x, y) sa središtem u ishodištu i s glavnom
Slika 6.13: Elipsa kao Lissajousova krivulja.
osom zakrenutom za odredeni kut Φ prema pozitivnom smjeru osi x (slika 6.13). S gibanjem
čestice po elipsi uslijed djelovanja elastične sile u smjerene prema ishodištu, ćemo se susresti
ponovo u poglavlju 7 o centralnim silama.
Lako je odrediti kut zakreta Φ. Uvedimo pomoćni koordinatni sustav (x ′ , y ′ ) kao na slici 6.13.
U tom koordinatnom sustavu su osi elipse usmjerene duž koordinatnih osi x ′ i y ′ , pa jednadžba
elipse glasi
( ) x
′ 2 ( ) y
′ 2
+ = 1.
A ′ x
A ′ y
Veza (x ′ , y ′ ) s (x, y) sustavom je dana relacijama
x = x ′ cos Φ − y ′ sin Φ,
y = x ′ sin Φ + y ′ cos Φ.
Pomoću gornjih relacija ćemo elipsu (6.54) napisati u koordinatama x ′ i y ′
[ ]
cos
x ′ 2 2 Φ sin 2Φ
· − cos(Φ
A 2 x − Φ y ) + sin2 Φ
x A x A y A 2 y
[
]
+x ′ y ′ sin 2Φ cos 2Φ
sin 2Φ
· − − 2 cos(Φ
A 2 x − Φ y ) +
x A x A y A 2 y
[ sin
+ y ′ 2 2 ]
Φ sin 2Φ
· + cos(Φ
A 2 x − Φ y ) + cos2 Φ
= sin 2 (Φ
x A x A y A 2 x − Φ y ).
y