KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.8. ORTOGONALNA TRANSFORMACIJA (PREOBRAZBA) 61
Tako npr V x , V y i V z postaju V 1 , V 2 i V 3 , a relacija (2.83) postaje
V 1 ′ = m 1 V 1 + m 2 V 2 + m 3 V 3 ,
V 2 ′ = n 1 V 1 + n 2 V 2 + n 3 V 3 , (2.88)
V 3 ′ = l 1 V 1 + l 2 V 2 + l 3 V 3 .
Gornje su relacije poseban slučaj opće (ne i najopćenitije, jer nema konstantnog aditivnog
člana) linearne transformacije oblika
V 1 ′ = a 1 1 V 1 + a 1 2 V 2 + a 1 3 V 3 ,
V 2 ′ = a 2 1 V 1 + a 2 2 V 2 + a 2 3 V 3 , (2.89)
V 3 ′ = a 3 1 V 1 + a 3 2 V 2 + a 3 3 V 3 .
Kada kažemo opća linearna transformacija, time mislimo reći da su koeficijenti a i j medusobno
nezavisni, dok su koeficijenti iz transformacije (2.88) medusobno povezani relacijama (2.87).
Gornje tri relacije možemo sažeto napisati kao
ili u matričnom obliku
⃗V ′ = A ⃗ V
V ′
i =
3∑
j=1
a i j V j , i, j = 1, 2, 3, (2.90)
⇔
⎡
⎢
⎣
V ′
1
V ′
2
V ′
3
⎤ ⎡
⎤ ⎡
a 1 1 a 1 2 a 1 3
⎥
⎦ = ⎢ a 2 1 a 2 2 a 2 3
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
a 3 1 a 3 2 a 3 3
V 1
V 2
V 3
⎤
⎥
⎦ . (2.91)
Ako na gornju transformaciju, tj. na (2.89), nametnemo zahtjev da ne mijenja duljinu vektora,
tj. da je duljina vektora prije transformacije jednaka duljini vektora poslije transformacije
uvrštavanjem (2.90), dolazimo do
3∑
j=1
3∑
i=1
3∑
k=1
3∑
i=1
3∑
j=1
( 3∑
i=1
V ′
i V ′
i =
a i j V j
3∑
i=1
3∑
k=1
a i j a i k
)
3∑
i=1
V i V i ,
V ′
i V ′
i =
a i k V k =
V j V k =
Da bi gornja jednakost bila zadovoljena, očito mora biti
3∑
i=1
3∑
i=1
3∑
i=1
V i V i ,
V i V i ,
V i V i
3∑
a i j a i k = δ j k . (2.92)
i=1