KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

232 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI
U granici kada ∆ t postaje iščezavajuće malen, dobiva se
d ⃗ U ⊥
d t
⃗U ⊥ (t + ∆ t) − U
= lim
⃗ ⊥ (t)
∆ t→0 ∆ t
Tako smo dobili
(cos ω∆ t − 1) ·
= lim
⃗U ⊥ (t) + sin ω∆ t ·⃗b (t)
∆ t→0
∆ t
]
= lim
∆ t→0
= lim
∆ t→0
[
1 − (ω∆ t) 2 /2 + · · · − 1
[(
− 1 )
2 ω2 ∆ t + · · · · ⃗U ⊥ (t) +
d ⃗ U ⊥
d t
Budući da je ⃗ U ‖ konstantno u vremenu, to je
· ⃗U ⊥ (t) +
= ω ⃗ b .
[
]
ω∆ t − (ω∆ t) 3 /6 + · · · ·⃗b (t)
∆ t
(ω − ω3 (∆ t) 2
6
) ]
+ · · · ·⃗b (t) = ω ⃗ b .
Kako je ⃗ b definiran kao
d U ⃗
d t = d U ⃗ ⊥
d t
= ω ⃗ b .
⃗ b = ˆω × ⃗ U⊥ ,
a zbog kolinearnosti ˆω i ⃗ U ‖ , to je i
⃗ b = ˆω × ( ⃗ U⊥ + ⃗ U ‖ ) = ˆω × ⃗ U.
Uvrsti li se ovo u gornju jednadžbu, dobiva se da, za svaki vektor ⃗ U, konstantan u
sustavu koji se vrti, a gledan iz nepomičnog sustava, vrijedi
d ⃗ U
d t = ⃗ω × ⃗ U, (8.2)
gdje je ⃗ω vektor vrtnje (x, y, z) sustava oko nepomičnog sustava (X, Y, Z).
Ako se sada vektor ⃗ U identificira redom sa vektorima ˆx , ŷ , ẑ , dobiva se
d ˆx
d ŷ
= ⃗ω × ˆx ,
d t d t = ⃗ω × ŷ , d ẑ
d t = ⃗ω × ẑ .
Ovi se rezultati mogu primjeniti na problem traženja veze izmedu vremenskih promjena vektora
⃗V gledano iz nepomičnog i sustava koji se vrti, postavljen jednadžbom (8.1)
d ⃗ V
d t
= d ⃗ V
+ V x (⃗ω × ˆx ) + V y (⃗ω × ŷ ) + V z (⃗ω × ẑ )
∣ d t ∣
in nin
= d V ⃗ + ⃗ω × (V x ˆx + V y ŷ + V z ẑ )
d t ∣
nin