KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.2. GRAVITACIJSKO PRIVLAČENJE OKRUGLIH TIJELA 181
Iz gornjeg izraza za silu se vidi da na česticu mase m, djeluje ista sila kao da se u ishodištu
koordinatnog sustava nalazi jedna druga čestica (a ne šuplja kugla), mase jednake m INT ER .
Kada se čestica mase m ne bi nalazila na osi ẑ , nego u nekoj općoj točki u prostoru, izraz za
silu bi glasio
⃗F
INT ER
G
(⃗r) = −G m m INT ER
ˆr
r 2 =⇒ ⃗g INT ER (⃗r) = −G m INT ER
ˆr
r 2 . (7.22)
U slučaju pune kugle, R u = 0, polje je
⃗g = − G 4 π
3 ρ 0 r ˆr , (7.23)
tj. u unutrašnjosti pune homogene kugle, polje raste linearno s udaljenošću od ishodišta.
OUT: pogledajmo na kraju i silu F ⃗ G
OUT
r > R v ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′
koja djeluje na česticu smještenu izvan kugle, gdje je
⃗F G OUT (⃗r) = −3GmM
2(Rv 3 − Ru)
3
∫
ẑ
Rv
r ′ dr ′ 4r ′ = −3GmM ẑ 4
2r 2 R u
2(Rv 3 − Ru)
3 2r 2 3 (R3 v − Ru) 3 = − G m M ẑ .
r 2
Za česticu mase m izvan osi ẑ , bi se očito dobio ovaj izraz za silu
⃗F G
OUT (⃗r) = − G m M ˆr
r 2
Izvan kugle je sila na česticu ista kao i da se umjesto šuplje kugle, u ishodištu nalazi čestica
mase jednake ukupnoj masi kugle M. Gravitacijsko polje izvan kugle je
F
⃗g = ⃗ G
OUT
m = − G M ˆr . (7.24)
r2 Gornji rezultati sadrže dva granična slučaja:
(1) u granici kada R u → 0, gornji se rezulatati svode na privlačenje izmedu čestice i pune kugle
polumjera R v = R;
(2) u granici kada R u → R v = R, gornji se rezultati svode na privlačenje čestice i sferne ljuske
mase M i polumjera R.
Sada možemo razumijeti odgovor na pitanje s početka ovog odjeljka. Rastavimo u mislima Zemlju
na velik broj malih dijelova. Na svaki taj djelić Sunce djeluje istom silom kao i da umjesto
njega imamo česticu iste mase na mjestu njegova središta. U skladu s načelom pridodavanja,
ukupna sila na cijelu Zemlju je jednaka zbroju sila na svaki njezin dio, a to je upravo izraz
s početka odjeljka (istina je da se pojedini dijelovi Zemlje nalaze na različitim udaljenostima
od središta Sunca, ali je ta razlika neusporedivo manja od udaljenosti izmedu Zemlje i Sunca,
pa se zanemaruje). Naravno da se ista argumentacija primjenjuje i na medusobno privlačenje
planeta i ostalih sfernih objekata.
Pokažimo da se do istog rezultata za silu, može doći i računom potencijala i korištenjem veze
sile i potencijala: F ⃗
−→ = − ∇Ep = −m −→ ∇V . Gravitacijski potencijal ćemo računati izrazom
(7.10)
V (⃗r) = − G
∫
ρ m (⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′ .