KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

174 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Gravitacijski potencijal koji u točki ⃗r stvara čestica mase m smještena u ishodištu je (uzmimo
⃗r p = ∞ uz V (∞) = 0 i ⃗r k = ⃗r)
∫ ⃗r
m
V (⃗r) − V (∞) = G
∞ r dr 2
V (⃗r) = − G m r . (7.8)
Prema načelu pridodavanja sila, a time i polja, slijedi da je potencijal koji u točki ⃗r stvara
mnoštvo čestica masa m j koji se nalaze u točkama ⃗r j jednak zbroju potencijala koje stvaraju
pojedine čestica
N∑
N∑ m j
V (⃗r) = V j (⃗r) = −G
|⃗r − ⃗r j | . (7.9)
j=1
U granici kontinuirane raspodjele mase
N∑
j=1
m j
→
∫
∫
dm =
j=1
ρ m (⃗r ′ ) d 3 r ′ ,
(⃗r ′ je nijema varijabla integracije), pa konačni izraz za računanje gravitacijskog potencijala u
točki ⃗r, koji potječe od kontinuirane raspodjele mase opisane volumnom gustoćom ρ m (⃗r ′ ) glasi
V (⃗r) = − G
∫
ρ m (⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′ . (7.10)
U slučaju površinske raspodjele mase opisane površinskom gustoćom σ m (⃗r ′ ), potencijal je dan
sa
∫
σ m (⃗r ′ )
V (⃗r) = − G
|⃗r − ⃗r ′ | d2 r ′
a u slučaju linijske raspodjele mase opisane linijskom gustoćom λ m (⃗r ′ ), potencijal je dan sa
∫
λ m (⃗r ′ )
V (⃗r) = − G
|⃗r − ⃗r ′ | dr ′ .
Integrali se protežu po dijelu prostora u kojemu je masena gustoća različita od nule.
Skup točaka u prostoru na kojima je potencijal konstantan
V (⃗r) = const.
se zove ekvipotencijalna ploha . Npr. ako je masa rasporedena s konstantnom gustoćom
unutar kugle, ekvipotencijalne plohe su sfere sa središtem u točki gdje je i središte kugle.
Uočimo u jednadžbi (7.6)
E p = − 1 2 G N
∑
j=1
N∑
k=1
j≠k
m j m k
|⃗r j − ⃗r k |