KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.1. TENZOR TROMOSTI 359
i tijelo ne treba učvrstiti niti u jednoj točki, a ono će se ipak trajno vrtjeti oko te osi. Zbog
gore opisane veze s centrifugalnom silom, umnošci tromosti se nazivaju i devijacijski momenti
ili centrifugalni momenti.
Vratimo se komponentama momenta količine gibanja, koje sada možemo napisati preko momenata
i umnožaka tromosti
L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z ,
L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z , (13.2)
L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z .
Gornji sustav jednadžba možemo napisati kao jednu matričnu jednadžbu, tako što ćemo uvesti
matricu tenzora tromosti I
⎡
I = ⎣ I ⎤
xx I xy I xz
I yx I yy I yz
⎦ .
I zx I zy I zz
Elementi matrice su (prema definiciji) realni, a zbog simetrije umnožaka tromosti: I xy =
I yx , I xz = I zx , I yz = I zy , matrica je i simetrična. To znači da su njezine svojstvene vrijednosti
realne, a svojstveni vektori su medusobno okomiti. Sustav jednadžba (13.2) sada glasi
⃗L = I ⃗ω . (13.3)
U ovom općem slučaju, kada su I α,β ≠ 0, smjer momenta količine gibanja ⃗ L se razlikuje od
smjera osi vrtnje ⃗ω .
Pogledajmo sada kako izgleda kinetička energija vrtnje krutog tijela? Ponovo krećemo od zapisa
kinetičke energije vrtnje kao zbroja kinetičkih energija pojedinih čestica krutog tijela
E k,vrt = 1 2
= 1 2
N∑
j=1
N∑
j=1
m j ⃗v 2
j = 1 2
N∑
j=1
m j ⃗v j (⃗ω × ⃗r j ) = 1 2
m j ⃗v j ⃗v j (13.4)
N∑
j=1
m j ⃗ω (⃗r j × ⃗v j ) = 1 2 ⃗ω ⃗ L .
Uvrstimo li relacije (13.2) u skalarni umnožak ⃗ω L ⃗ , dobivamo za energiju vrtnje
E k,vrt = 1 ]
[I xx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2 I xy ω x ω y + 2 I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z
2
(13.5)
Primjer: 13.1 Stožac:
Stožac jednolike gustoće se, bez klizanja, kotrlja po ravnini (x, y) kutnom brzinom
˙ϕ oko osi z. Polumjer stošca je R, visina H, a masa m (slika 13.2). Izračunajte
kinetičku energiju stošca.
R: Primjetimo najprije da u ovom zadatku postoje dvije kutne brzine. Prva
je kutna brzina vrtnje središta mase stošca oko ishodišta i nju ćemo označiti s ˙ϕ .
Druga je kutna brzina vrtnje stošca oko trenutnog središta vrtnje, a to je linije po