KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

24 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
derivacija
ds
dl 1
ˆl1 ,
se naziva gradijent skalarnog polja s(⃗r). Iz izvoda se vidi da gradijent ima smjer najbrže
promjene polja, tj. da je okomit na ekvipotencijalnu plohu. Da bi se dobio oblik gradijenta
u pravokutnom koordinatnom sustavu, jedinični vektor smjera ˆl 1 možemo razviti po vektorima
baze pravokutnog koordinatnog sustava, kao što je pokazano u (2.4)
ˆl1 = (ˆl 1 · ˆx ) ˆx + (ˆl 1 · ŷ ) ŷ + (ˆl 1 · ẑ ) ẑ
= cos α x ˆx + cos α y ŷ + cos α z ẑ ,
gdje je α x kut izmedu ˆl 1 i ˆx i slično za ostale kutove. Time se za gradijent dobiva
No, sa slike 2.9.B se vidi da je
ds
ˆl1 = ds (cos α x ˆx + cos α y ŷ + cos α z ẑ ). (2.17)
dl 1 dl 1
i slično za kutove prema osima y i z
cos α x = dl 1
dx
cos α y = dl 1
dy , cos α z = dl 1
dz .
Uvrštavanjem ova tri kosinusa u izraz za gradijent (2.17) i primjenom pravila za derivaciju
složene funkcije, dobiva se
ds
ˆl1 = ds ( dl1
dl 1 dl 1 dx ˆx + dl 1
dy ŷ + dl )
1
dz ẑ = ∂s ∂s ˆx +
∂x ∂y ŷ + ∂s (
∂z ẑ = ˆx ∂
∂x + ŷ ∂ ∂y + ẑ ∂ )
s = −→ ∇s.
∂z
Time smo pokazali da je smjer najbrže promjene skalarnog polja može napisati pomoću djelovanja
operatora nabla
grad s = −→ ∇s =
(
ˆx ∂ ∂ x + ŷ ∂ ∂ y + ẑ ∂ )
s = ˆx ∂ s
∂ z ∂ x + ŷ ∂ s
∂ y + ẑ ∂ s
∂ z . (2.18)
Primjetimo da je gradijent skalarnog polja jedno novo vektorsko polje −→ ∇s. Operacija
gradijenta podsjeća na množenje vektora ( −→ ∇) skalarom (s), s tom razlikom što sada binarna
relacija nije množenje nego deriviranje.
Primjer: 2.2 Skalarni potencijal električnog dipola s dipolnim momentom ⃗p je dan izrazom
V (⃗r) = 1
4πɛ 0
Izračunajte električno polje ⃗ E = − −→ ∇ V .
R: Prema definiciji gradijenta (2.18) je
⃗p · ⃗r
r 3 .
⃗E = − −→ ∇ V = −ˆx ∂ V
∂ x − ŷ ∂ V
∂ y − ẑ ∂ V
∂ z .