KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUSTAVI ČESTICA 261
Očito ćemo samu duljinu luka krivulje dobiti kao
√
∫ ( ) 2 dx
l 0 =
+
dq 1
l 0
( dy
dq 1
) 2
+
Ukoliko je krivulja zadana eksplicitno jednadžbama
l 0
y = y(x),
z = z(x),
( dz
dq 1
) 2
dq 1 . (10.5)
tada x shvaćamo kao poopćenu koordinatu (parametar) x ≡ q 1 i primjenjujemo gornji izraz
√
∫
( ) 2 ( ) 2 dy dz
m(l 0 ) = λ m (x) 1 + + dx,
dx dx
a duljinu lika krivulje računamo kao
√
∫
l 0 = 1 +
l 0
( ) 2 dy
+
dx
( ) 2 dz
dx,
dx
Primjer: 10.3 Tanka žica je savijena u obliku zavojnice polumjera R i hoda h. Linijska masena
gustoća je dana izrazom
λ m = A + B sin 2 ϕ,
gdje su A i B konstante, a ϕ je kut u ravnini okomitoj na os zavojnice, mjeren u
odnosu na odabranu početnu točku. Ako su
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = h
2π ϕ,
parametarske jednadžbe zavojnice, izračunajte duljinu i masu N zavoja zavojnice.
R: Sada se nalazimo u situaciji da imamo jednadžbu krivulje zadanu u parametarskom
obliku (10.3), gdje je parametar, tj. poopćena koordinata q 1 = ϕ, pa
možemo primjeniti izraze (10.5) i (10.4). Duljina N zavoja je jednaka N puta duljina
jednog zavoja l = l 1 · N
√
∫ 2π ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx dy dz
l = N
+ + dϕ = N √ 4π
dϕ dϕ dϕ
2 R 2 + h 2 ,
0
Masa N zavoja je N puta masa jednog zavoja m = N · m 1 , a tu masu odredimo
pomoću (10.4) uz ϕ kao poopćenu koordinatu (parametar)
√
∫ 2π
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx dy dz
m = N (A + B sin 2 ϕ) + + dϕ.
dϕ dϕ dϕ
0
Iskoristimo li cos 2ϕ = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ = 1 − 2 sin 2 ϕ, elementarna integracija daje
m = N √ (
4π 2 R 2 + h 2 A + 1 )
2 B = l λ 0 ,
gdje smo s l označili ukupnu duljinu zavojnice a λ 0 = (A + B/2) je gustoća koju bi
imala homogena zavojnica iste mase i duljine.
Na sličan se način mogu uvesti i pojmovi volumne, površinske i linijske gustoće električnog
naboja, energije, struje itd.