KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

318 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
(n ne može biti 0, jer k ne može biti 0). Valni broj može poprimati samo diskretne vrijednosti
odredene jednadžbom
k = k n = nπ L
, n = 1, 2, · · · .
Time smo dobili niz rješenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti a 1 a 2 → a n
i a 1 b 2 → b n , ta rješenja glase
ψ n (x, t) = cos nπx [
a n cos nπv ft
L L
+ b n sin nπv ]
ft
.
L
Sada ispitujemo periodičnost u prostornoj i vremenskoj varijabli
ψ n (x, t) = ψ n (x + λ, t), ψ n (x, t) = ψ n (x, t + T ).
Prostorna ovisnost ψ n (x, t) je sadržana u članu cos(nπx/L), pa je λ najmanja vrijednost za
koju je
cos nπx
L
= cos
= cos nπx
L
Gornja je jednadžba zadovoljena ako je
cos nπλ
L
nπ(x + λ)
L
nπλ
cos
L
− sin nπx
L
= 1, sin
nπλ
L = 0,
nπλ
sin
L
tj. ako je nπλ/L = 2π · m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sa m = 1, tako
da zaključujemo, da je za svaki dani n
λ = λ n = 2L n
, n = 1, 2, . . . .
Kao i valni broj k n i valna duljina je diskretna, pri čemu je opet k n λ n = 2π.
Vremenska periodičnost:
cos nπv ft
L
sin nπv ft
L
= cos nπv f(t + T )
L
= sin nπv f(t + T )
L
Obje gornje jednadžbe su zadovoljene, ako je
= cos nπv ft
L
= sin nπv ft
L
cos nπv ft
L
cos nπv ft
L
cos nπv ft
L = 1, sin nπv ft
L = 0,
− sin nπv ft
L
+ cos nπv ft
L
sin nπv ft
L ,
sin nπv ft
L .
tj. ako je nπv f t/L = 2π · m. Periodičnosti za m = 2, 3, · · · itd. su višekratnici periodičnosti za
m = 1, pa je zato periodičnost odredena s m = 1, tj.
T = T n = 2L
nv f
,
ω n = πnv f
L
, n = 1, 2, . . . .
Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadžbe, opće rješenje za pomak ψ n (x, t) je
∞∑
ψ(x, t) = cos nπx [
a n cos nπv ft
L L
+ b n sin nπv ]
ft
.
L
n=1