KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Poglavlje 11
Mali titraji sustava čestica
Za razliku od prethodnog odjeljka gdje smo promatrali sustav od samo dvije čestice koje
medudjeluju samo u trenutku izravnog medusobnog dodira, sada ćemo promatrati nešto složeniji
sustav. Složeniji utoliko što je sada broj čestica proizvoljno velik, a i medudjelovanja čestica
su složenija. Zamislit ćemo da su medučestične sile f ⃗ i,j jednostavne elastične sile srazmjerne
udaljenosti pojedine čestice od ravnotežnog položaja (silu ovog tipa smo već upoznali u odjeljku
6). Konkretno, zamislit ćemo da se sustav sastoji od malih kuglica koje su medusobno povezane
isto tako malim oprugama. Sve su čestice iste mase i sve su opruge iste čvrstoće. Opruge
povezuju samo prve susjede (kratki doseg medudjelovanja), kao na slici 11.1.
Promatrat ćemo situaciju u kojoj neka vanjska sile u jednom (početnom) trenutku otkloni iz
položaja ravnoteže nekoliko ili sve čestice sustava, nakon čega se sustav dalje giba u skladu s
jednadžbama gibanja. Uslijed elastičnog karaktera medučestičnih sila, rezultat ovakvog gibanja
će biti titranje. Ograničit ćemo se na proučavanje gibanja jedno- i dvodimenzijskih sustava.
na pravcu ili u ravnini okomitoj na smjer gravitacijskog polja. Učinci prigušenja (trenja) će se,
radi jednostavnosti, zanemarivati.
Titranje koje se odvija u smjeru u kojem su postavljene opruge medu česticama, nazivat ćemo
longitudinalnim (uzdužnim), a ono koje se odvija u okomitom smjeru ćemo zvati transverzalnim
(poprečnim).
11.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog sustava
čestica
U odjeljku 6 smo vidjeli da jedna čestica koja se giba samo pod djelovanjem elastične sile
(harmonijski oscilator), harmonijski titra oko svog položaja ravnoteže. Sila je po iznosu jednaka
K ∆ x (gdje je ∆ x otklon od položaja ravnoteže), a smjer je prema položaja ravnoteže. To se
titranje odvija kružnom frekvencijom ω 0 = √ K/m za harmonijski oscilator ili ω 0 = √ g/l za
matematičko njihalo.
U ovom odjeljku ćemo proučiti gibanje sustava od N čestica iste mase m, povezanih oprugama
iste konstante K (slika 11.1), tj. promatrat ćemo sustav sastavljen od N jednakih i medusobno
povezanih harmonijskih oscilatora. Za razliku od titranja jednog izoliranog harmonijskog
oscilatora, gdje smo dobili samo jednu moguću frekvenciju titranja ω 0 , sada očekujemo
da će sustav moći titrati s više različitih frekvencija. Pokazat će se, relacija (11.7), da postoji
upravo N različitih frekvencija. Naš glavni zadatak u ovom odjeljku jeste izračunati te frekvencije
i naći otklone čestica u slučaju titranja nekom odredenom frekvencijom. U računu
ćemo zanemariti utjecaj gravitacije i trenja (prigušenja) bilo kojeg podrijetla (sa česticama
293