KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

256 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Posebno, ako je gustoća konstantna, masa tijela sadržana unutar volumena V 0
m(V 0 ) = m V 0 /V .
je jednaka
Za odredivanje položaj točaka sustava u trodimenzijskom prostoru, potrebna su nam tri broja,
tj. tri koordinate. To mogu biti pravokutne, sferne ili koje druge pogodno odabrane koordinate.
Općenito ćemo te koordinate označavati s q 1 , q 2 i q 3 i zvat ćemo ih poopćene koordinate
⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 ).
U skladu s geometrijskim značenjem mješovitog umnoška vektora (str. 14), diferencijal volumena
u okolini točke ⃗r, računamo kao
dV = d ⃗q 1 · (d ⃗q 2 × d ⃗q 3 ),
gdje su d ⃗q j vektori u smjeru porasta poopćene koordinate q j (slika 10.1)
Slika 10.1: Smjer porasta koordinate q 1 .
d ⃗q 1 = ⃗r(q 1 + dq 1 , q 2 , q 3 ) − ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 ) = ∂ ⃗r
∂q 1
dq 1
d ⃗q 2 = ⃗r(q 1 , q 2 + dq 2 , q 3 ) − ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 ) = ∂ ⃗r
∂q 2
dq 2
d ⃗q 2 = ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 + dq 3 ) − ⃗r(q 1 , q 2 , q 3 ) = ∂ ⃗r
∂q 3
dq 3
Ukoliko su poopćene koordinate uvedene preko pravokutnih
relacijama
⃗r = ˆx x + ŷ y + ẑ z,
x = x(q 1 , q 2 , q 3 ), y = y(q 1 , q 2 , q 3 ), z = z(q 1 , q 2 , q 3 ),