KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.3.
KOLIČINA GIBANJA SUSTAVA ČESTICA 265
tako da je masa j-te čestice sustava m j , a brzina ⃗v j ≡ ˙⃗r j . Ukupnu količinu gibanja sustava je
najprirodnije definirati kao zbroj količina gibanja pojedinih čestica sustava
N∑ N∑
⃗p = ⃗p j = m j ˙⃗rj .
j=1
Za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase, u gornjem izrazu treba zbroj zamijeniti integralom,
a masu m j zamijeniti diferencijalom mase u okolini promatrane točke
N∑
∫
−→
j=1
j=1
m j −→ d m(⃗r).
Na taj način, ukupna količina gibanja kontinuiranog sustava čestica postaje
∫
∫
⃗p = d m(⃗r) ⃗v = ⃗v ρ m (⃗r) d 3 r.
j=1
V
Vremenskom derivacijom vektora položaja središta mase dobivamo
⃗r SM = 1 N∑
m j ⃗r j = 1 ∫
/
⃗r ρ m (⃗r) d 3 r
m
m
dobivamo brzinu središta mase
˙⃗r SM = 1 N∑
m j ⃗v j = 1 ∫
m
m
j=1
V
V
V
{ [
⃗v ρ m (⃗r) + ⃗r
( −→ ∇ ρ m ) ⃗v + ∂ ρ m
∂ t
d
dt
]}
d 3 r
Usporedbom gornjeg i izraza za količinu gibanja cijelog sustava ⃗p , dolazi se do
⃗p = m ˙⃗r SM , (10.9)
tj. ukupna količina gibanja sustava čestica se dobije kao umnožak ukupne mase sustava i brzine
središta mase.
Sile:
Pogledajmo sada koji je učinak djelovanja sila na čestice sustava? Sve sile koje djeluju na
čestice sustava, se mogu podijeliti u dvije skupine: unutarnje (ili medučestične) i vanjske.
Unutarnje sile su one kojima jedna čestica sustava djeluje na neku drugu česticu sustava, a
vanjske su sile kojima okolina djeluje na sustav (njihovi se izvori nalaze izvan sustava). Zbroj
svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu česticu sustava, označit ćemo s F ⃗ v,j , a silu kojom i-ta
čestica sustava djeluje na j-tu česticu, ćemo označiti s f ⃗ i,j . Naravno da je f ⃗ j,j ≡ 0, tj. da
čestica ne djeluje silom na samu sebe, i da je prema trećem Newtonovom aksiomu f ⃗ i,j = −f ⃗ j,i .
Napišimo jednadžbu gibanja (drugi Newtonov aksiom) za j-tu česticu sustava i zbrojimo sve
te jednadžbe
/
d⃗p j
= d 2
dt dt (m j⃗r 2 j ) = F ⃗ N∑
∑ N
v,j + ⃗f i,j .
i=1
j=1