KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.5. SILE OVISNE O BRZINI: (2) LORENTZOVA SILA 117
Promatrajući jednadžbu gibanja u smjeru osi z, primjećujemo da je desna strana jednadžbe
konstantna, tj. tu se radi o gibanju u polju konstantne sile, koje smo već riješili na početku
ovog poglavlja, (5.5), uz z(0) = 0, v z (0) = v 0,z i F 0,z = qE cos θ. Primjenom tog rješenja na
ovaj problem, može se odmah napisati
z(t) = v 0,z t + 1 2
qE cos θ
m t 2 qE cos θ
, v z (t) = v 0,z +
m t, a z(t) =
qE cos θ
m . (5.22)
Vezani 2 × 2 sustav diferencijalnih jednadžba za x i y koordinate, ćemo riješiti uvodenjem
kompleksne varijable
ζ = x + i y,
gdje je i 2 = −1, imaginarna jedinica. Pomnožimo li jednadžbu za y s i i zbrojimo ju s jednadžbom
za x, dobit ćemo
ẍ + iÿ = ωẏ + i qE m
¨ζ + iω ˙ζ = i qE m
sin θ − iωẋ
sin θ. (5.23)
Prema konstrukciji gornje jednadžbe, njezin realni dio je rješenje za x, a imaginarni dio je
rješenje za y. Gornju ćemo jednadžbu rješavati postupno.
♣ Radi jednostavnosti, ograničimo se najprije na slučaj gibanja u (samo) električnom polju:
B = 0 = ω i E ≠ 0. Tada jednadžba (5.23) postaje
¨ζ = ẍ + ı ÿ = i qE m
sin θ.
Izjednačimo realne i imaginarne dijelove na lijevoj i desnoj strani
ẍ = 0,
ÿ = qE m
sin θ.
No, to su jednadžbe istog oblika kao i u odjeljku 5.1, uz konstantne komponente sile
F 0,x = 0, F 0,y = q E sin θ.
Rješenja ove jednadžbe su nam poznata iz (5.5) (dodajmo još i rješenje (5.22) za z)
x(t) = v 0,x t, y(t) = v 0,y t + 1 2
q E sin θ
m
t 2 , z(t) = v 0,z t + 1 2
qE cos θ
m t 2 .
To je rješenje za
(5.24)
E ≠ 0, B = 0.
Gibanje u smjeru osi x je jednoliko i odvija se konstantnom početnom brzinom v 0,x . U smjeru
osi y i z postoji ubrzanje koje dolazi od y i z komponenata sile električnog polja, F 0,y = q E sin θ
i F 0,z = q E cos θ.