KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.4. FOUCAULTOVO NJIHALO 245
skalarne jednadžbe
m ẍ = − x l
F nap + 2 m Ω ẏ cos λ
m ÿ = − y F nap − 2 m Ω (ẋ cos λ + ż sin λ)
l
m ¨z = −mg + l − z F nap + 2 m Ω ẏ sin λ
l
Pojednostavimo ove jednadžbe pretpostavkom da su amplitude njihanja male, tako da se
kugla približno nalazi u ravnini poda što je (x, y) ravnina. U matematičkom jeziku to znači da
pretpostavljamo da je ¨z = ż = z ≃ 0. Uz ovu pretpostavku, iz posljednje od gornjih jednadžba
slijedi iznos sile napetosti niti
F nap = m g − 2 m Ω ẏ sin λ
Uvrštavanjem ovog izraza za napetost u preostale dvije jednadžbe, dolazi se do
ẍ = − g l
ÿ = − g l
2 Ω sin λ
x + 2 Ω ẏ cos λ +
l
2 Ω sin λ
y − 2 Ω ẋ cos λ +
l
Za pretpostavljene male amplitude titraja, nelinearni članovi xẏ i yẏ su manji od ostalih
članova, pa ih zato zanemarujemo. Preostaje vezani 2 × 2 linearni sustav diferncijalnih jednadžba
za x i y
ẍ = − g l x + 2 Ω ẏ cos λ
x ẏ
y ẏ.
ÿ = − g l
y − 2 Ω ẋ cos λ.
Definirajmo početne uvjete gibanja, uz koje ćemo tražiti rješenje. Neka se u početnom
trenutku t = 0, njihalo nalazi u ravnini (y, z) otklonjeno za A u smjeru osi y (slika 8.12).
Uz pokrate ω 2 0 = g/l i α = Ω cos λ, jednadžbe gibanja glase
x(0) = 0, ẋ(0) = 0, (8.11)
y(0) = A, ẏ(0) = 0.
ẍ = −ω0 2 x + 2α ẏ
ÿ = −ω0 2 y − 2α ẋ.
Pomnožimo drugu od gornjih jednadžba imaginarnom jedinicom i i zbrojimo obje jednadžbe
ẍ + iÿ = ω 2 0(x + iy) − 2iα(ẋ + iẏ).
U novoj kompleksnoj varijabli ζ = x + iy, gornja jednadžba postaje
¨ζ + 2iα ˙ζ + ω 2 0 ζ = 0,
što po obliku prepoznajemo kao jednadžbu harmonijskog oscilatora s prigušenjem srazmjernim
brzini (relacija (6.21)), ali je koeficijent prigušenja imaginaran. Potražimo rješenje gornje
homogene jednadžbe u obliku
ζ(t) = c e γ t ,