KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

268 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Dvostruki zbroj na desnoj strani sadrži članove oblika
· · · + ⃗r j × ⃗ f i,j + · · · + ⃗r i × ⃗ f j,i + · · ·
Prema trećem Newtonovom aksiomu je ⃗ f j,i = − ⃗ f i,j , pa gornja dva člana možemo zbrojiti u
· · · + (⃗r j − ⃗r i ) × ⃗ f i,j + · · ·
Budući da su medučestične sile usmjerene duž spojnica čestica, to je
(⃗r j − ⃗r i ) × ⃗ f i,j = (⃗r j − ⃗r i ) × ⃗r i − ⃗r j
|⃗r i − ⃗r j | f i,j = 0, (10.14)
zato jer je vektorski umnožak dva kolinearna vektora jednak nuli. Tako smo, krenuvši od
jednadžbe gibanja, došli do
dL
⃗
dt = M ⃗ v . (10.15)
Vremenska promjena momenta količine gibanja sustava čestica jednaka je momentu svih vanjskih
sila koje djeluju na čestice sustava. Ovaj rezultat vrijedi uz pretpostavku da su medučestične
sile usmjerene duž spojnica čestica (primjer sile koja nema samo radijalnu komponentu, su dipolne
sile koje se izvode iz dipolnog potencijala, odjeljak 7.4).
Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, Mv ⃗ = 0, tada je i
d ⃗ L
dt = 0, ⇒ ⃗ L =
N
∑
j=1
m j ⃗r j × ⃗v j = const. (10.16)
tj. moment količine gibanja sustava čestica je konstantan u vremenu. Gornja jednadžba se
zove i zakon o sačuvanju momenta količine gibanja sustava čestica .
Opet, kao i kod sačuvanja količine gibanja, str. 266, možemo pretpostaviti da su neke komponente
⃗ M v jednake nuli, a neke nisu. Npr. neka je u cilindričnom koordinatnom sustavu
M v,ϕ = 0, a preostale dvije komponente neka su različite od nule. Tada je
10.5 Energija sustava čestica
L ρ ≠ const. L ϕ = const. L z ≠ const.
Kinetička energija
sustava čestica se definira kao zbroj kinetičkih energija svih čestica sustava (ponovo ćemo, radi
jednostavnosti, raditi s diskretnim sustavom)
E k =
N∑
E k,j = 1 2
j=1
N∑
j=1
m j ⃗v 2
j =
N∑
j=1
⃗p 2 j
2m j
.
Označimo s ⃗ F j zbroj svih sila, vanjskih i medučestičnih, koje djeluju na j-tu česticu sustava
⃗F j = ⃗ F v,j +
N∑
⃗f i,j .
i=1