KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

282 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
glasi
0 =
=
2∑ ( )
⃗Fv,j − m j ¨⃗rj · δ⃗r j
j=1
[m 1 ⃗g + F ⃗ nap,1 + R ⃗ ]
1 − m 1 ¨⃗r1 · δ⃗r 1 +
[m 2 ⃗g + F ⃗ nap,2 + R ⃗ ]
2 − m 2 ¨⃗r2 · δ⃗r 2 .
Kao i u prethodna dva primjera, članovi sa silama napetosti i reakcijom podloge
iščezavaju, a preostaje
0 = (m 1 ⃗g − m 1 ¨⃗r1 ) δ⃗r 1 + (m 2 ⃗g − m 2 ¨⃗r2 ) δ⃗r 2 ,
0 = (m 1 g sin α 1 − m 1 ¨r 1 ) δr 1 + (m 2 g sin α 2 − m 2 ¨r 2 ) δr 2 .
Zbog nerastezivosti niti je opet r 1 + r 2 = l 0 = const., pa je δr 1 = −δr 2 i ¨r 1 = −¨r 2 .
Uvrštavanjem ovih veza u gornju relaciju, slijedi
0 = (m 1 g sin α 1 − m 1 ¨r 1 ) δr 1 + (m 2 g sin α 2 + m 2 ¨r 1 ) (−δr 1 ),
0 = (m 1 g sin α 1 − m 1 ¨r 1 − m 2 g sin α 2 − m 2 ¨r 1 ) δr 1 .
Rješavanjem gornje jednadžbe po ¨r 1 , dobiva se ubrzanje prve čestice
¨r 1 = g m 1 sin α 1 − m 2 sin α 2
m 1 + m 2
.
Primjetimo da je ono konstantno u vremenu. Ubrzanje druge čestice je ¨r 2 = −¨r 1 . U
ravnoteži je ¨r 1 = ¨r 2 = 0, a ove su relacije zadovoljene ako je brojnik gornjeg izraza
jednak nuli tj. ako vrijedi (10.33) iz prethodna dva primjera.
10.9 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete
Do sada smo promatrali gibanja čestica ili sustva čestica nepromjenjive mase, a sada ćemo
detaljnije proučiti gibanje jednog sustava promjenjive mase: rakete. Promatrat ćemo najjednostavniju
situaciju u kojoj se raketa giba okomito po pravcu u konstantnom gravitacijskom
polju (slika 10.8), zanemarujući utjecaj otpora zraka tijekom gibanja kroz atmosferu. U trenutku
t, brzina rakete je ⃗v = vẑ , v > 0, a njezina je masa m. Pod masom rakete podrazumjevamo
masu kabine m k , masu spremnika za gorivo m s i masu samog goriva m g .
m(t) = m k + m s + m g (t).
Samo se masa goriva mijenja (smanjuje) s vremenom. U trenutku t + ∆t, raketa je izbacila dio
svoje mase u obliku mješavine čestica goriva, u smjeru suprotnom od smjera svojega gibanja.
Masu odbačenih plinova označavamo s −∆m > 0, a njihovu brzinu s ⃗v − ⃗v 0 . Brzina izbačenih
plinova se dakle sastoji od dvije komponente: brzine same rakete ⃗v i brzine plinova u odnosu
na raketu −⃗v 0 = −v 0 ẑ , v 0 > 0. U tom istom trenutku t + ∆t, masa rakete je umanjena
za masu izbačenih plinova i jednaka je m + ∆m, a brzina joj je povećana na ⃗v + ∆⃗v gdje je
∆⃗v = ∆v ẑ , ∆v > 0. Sve se brzine mjere u odnosu na inercijski sustav sa ishodištem u točki
O.
Kao što je pokazano relacijom (10.12), samo vanjska sila može promijeniti ukupnu količinu
gibanja sustava. Nadalje, relacijom (10.30) je polazano da je ta promjena količine gibanja
sustava jednaka je impulsu vanjske sile. Primjetimo da vanjska sila F ⃗ v (gravitacija ili trenje),