KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Dodatak B
Presjeci stošca: kružnica, elipsa,
parabola i hiperbola
U ovom ćemo dodatku izvesti jednadžbe krivulja koje se dobiju kao rezultat presjeka stošca i
ravnine pod različitim kutovima, pa se stoga i zovu presjeci stošca. Ove krivulje čine jednu
posebnu familiju rješenja opće algebarske jednadžbe drugog reda u varijablama x i y
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(B.1)
(uz uvjet da je bar jedan od koeficijenata A, B ili C različit od nule) i bila su poznata još i
sterogrčkim matematičarima oko 300. godine p.n.e. ( Apolonije iz Aleksandrije ). Ove ćemo
krivulje koristiti najviše u poglavlju 7 (o gravitaciji), pa ćemo zato, osim u pravokutnom, navesti
i njihove oblike u polarnom koordinatnom sustavu.
Neka je pravac AB (koji ćemo zvati direktrisa) za D udaljen od ishodišta (ili fokusa) O, kao
na slici B.1. U polarnom koordinatnom sustavu je položaj točke P odreden koordinatama ρ i
ϕ. Udaljenost točke P od pravca AB ćemo označiti s d. Želimo odrediti jednadžbu krivulje
po kojoj se giba točka P uz uvjet da je omjer udaljenosti P do fokusa i P do direktrise AB
jednak jednoj bezdimenzijskoj konstanti koju ćemo zvati ekscentricitet i označiti s ɛ
ρ
d = ɛ = const.
(B.2)
U točki Q tražene krivulje je ρ = p i d = D, pa je zato i ɛ = p/D (primjetimo da u ovom
odjeljku p ne označava količinu gibanja čestice, nego je parametar koji ima dimenziju duljine,
a kojim ćemo definirati krivulju u ravnini). Iz trigonometrije se dobije
D = d + ρ cos ϕ.
Uvrstivši za D = p/ɛ, a za d = ρ/ɛ, dolazi se do tražene jednadžbe krivulje u polarnom
koordinatnom sustavu, ρ = ρ(ϕ), u obliku
ρ(ϕ) =
p
1 + ɛ cos ϕ . (B.3)
Ova jednadžba opisuje familiju krivulje koje se zovu presjeci stošca. Pokazat ćemo da,
ovisno o iznosu ekscentriciteta ɛ, gornja jednadžba opisuje:
437