KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 391
(13.23)
ω x = ˙Θ cos Φ + ˙Ψ sin Φ sin Θ,
ω y = ˙Θ sin Φ − ˙Ψ cos Φ sin Θ,
ω z = ˙Φ + ˙Ψ cos Θ.
Iz odjeljka 8.1 znamo da se brzina proizvoljne nepomične točke P neinercijskog
koordinatnog sustva može napisati kao (8.5)
⃗v P = ⃗v O ′
+ ⃗ω × −−→ O ′ P .
U točki dodira kugle s podlogom je ⃗v P = 0, a −−→ O ′ P = (0, 0, −R), gdje je R polumjer
kugle. Uvrštavanje u gornju jednadžbu, vodi na
⃗v P = 0 = ẋ O ′ ˆx + ẏ O ′ ŷ + ż O ′ ẑ +
∣
ˆx ŷ ẑ
ω x ω y ω z
0 0 −R
∣ ,
ili, po komponentama
d x O ′
d t
d y O ′
d t
( )
− R ˙Θ sin Φ − ˙Ψ cos Φ sin Θ
( )
+ R ˙Θ cos Φ + ˙Ψ sin Φ sin Θ
d z O ′
d t
= 0,
= 0,
= 0.
Prve dvije jednadžbe su neholonomne, a iz treće jednadžbe slijedi
z O ′ = const = R,
pa je to holonomna jednadžba. Na temelju ovog razmatranja, zaključujemo da je
kugla koja se kotrlja po ravnoj plohi, neholonoman sustav sa tri uvjeta na gibanje
(dva neholonomna i jedan poluholonoman koji smo uspjeli napisati kao holonoman).
14.4 Lagrangeove jednadžbe
Osnovna ideja koja leži u osnovi cijelog računa koji se izlaže u ovom odjeljku jeste u tome da
se, polazeći od Newtonovih jednadžba gibanja svih N čestica sustava, dode do jednadžba
gibanja za S stupnjeva slobode tog istog sustava.
N čestica −→ S stupnjeva slobode
Neka je zadan sustav od N čestica. Čestice nisu slobodne nego su podvrgnute uvjetima. Postoji
M h jednadžba kojima su izraženi holonomni i M nh jednadžba kojima su izraženi neholonomni
uvjeti. Zato je broj stupnjeva slobode sustava jednak S = 3N −M h −M nh (ako umjesto sustava
od N čestica imamo kruto tijelo, onda umjesto 3N dolazi broj stupnjeva slobode slobodnog
krutog tijela, a to je 6). Pretpostavimo da su holonomni uvjeti riješeni i da smo M h zavisnih
poopćenih koordinata izrazili preko preostalih 3N −M h . Ove preostale poopćene koordinate još
nisu sve medusobno neovisne, nego su povezane s M nh neholonomnih jednadžba. Ove jednadžbe