KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

444 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI
za sve n = 1, 2, · · · , N. Pomoću Fourierovih koeficijenata možemo napisati
∫ 2π
( )
1
f(x)P N (x)dx = π
2 A 0a 0 + A 1 a 1 + · · · + A N a N + B 1 b 1 + · · · + B N b N .
0
Pogledajmo sada član s kvadratom polinoma P N . Općenito je
(c 0 + c 1 + c 2 + · · · + c N ) 2 = c 2 0 + c 2 1 + · · · + c 2 N
+ 2c 0 (c 1 + c 2 + · · · + c N )
+ 2c 1 (c 2 + c 3 + · · · + c N )
.
+ 2c N−1 c N .
Identifikacijom c 0 = A 0 i c n = A n cos nx + B n sin nx, slijedi
P 2 N(x) = 1 4 A2 0 +
+ 2 1 2 A 0
N∑
n=1
A 2 n cos 2 nx + 2
N∑
n=1
N∑
(A n cos nx + B n sin nx)
n=1
+ 2(A 1 cos x + B 1 sin x)
A n cos nxB n sin nx +
N∑
(A n cos nx + B n sin nx)
n=2
+ 2(A 2 cos 2x + B 2 sin 2x)
N∑
(A n cos nx + B n sin nx)
n=3
N∑
n=1
B 2 n sin 2 nx
.
+ 2[A N−1 cos(N − 1)x + B N−1 sin(N − 1)x] [A N cos Nx + B N sin N)x].
Pri integraciji PN 2 , pojavit će se integrali oblika (za prirodne brojeve p ≠ k)
0 =
0 =
π =
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
sin px dx =
∫ 2π
sin px cos kx dx =
sin 2 px dx =
pa će u integralu od P 2 N preostati
∫ 2π
0
0
∫ 2π
0
cos px dx,
∫ 2π
0
cos 2 px dx,
sin px sin kx dx =
∫ 2π
P 2 N(x) dx = π
( 1
2 A2 0 + A 2 1 + · · · + A 2 N + B 2 1 + · · · + B 2 N
0
cos px cos kx dx
Sve zajedno, za I N smo dobili
∫ 2π
( )
1
I N = f 2 (x) dx − 2π
0
2 A 0a 0 + A 1 a 1 + · · · + A N a N + B 1 b 1 + · · · + B N b N
( )
1
+ π
2 A2 0 + A 2 1 + · · · + A 2 N + B1 2 + · · · + BN
2 .
)
.