KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.5. PRIJELAZ NA KVANTNU MEHANIKU 425
Ovo je doprinos promjeni broja reprezentativnih točaka u volumenu dq 1 · · · dp S uslijed ulaska
reprezentativnih točaka kroz plohu q s = const i izlaska kroz plohu q s + dq s = const. Potpuno
istim postupkom se dolazi do odgovarajućih izraza za promjenu broja reprezentativnih točaka
uslijed njihovog prolaska kroz sve ostale plohe q s = const., a isto tako i plohe p s = const. (u
faznom prostoru su q s i p s potpuno ravnopravne koordinate). Zbroj po s = 1, 2, · · · , S svih ovih
promjena broja reprezentativnih točaka, daje ukupnu promjenu broja reprezentativnih točaka
unutar faznog volumena dΓ ≡ dq 1 · · · dp S u vremenu dt
dN(t + dt) − dN(t) = −
S∑
s=1
[ ∂
( ˙q s ρ) +
∂ ]
(ṗ s ρ) dΓ dt
∂q s ∂p s
No, prema (15.19), gornji je izraz jednak (∂ρ/∂t) dΓ dt, pa njihovim izjednačavanjem, dobivamo
∂ρ
S∑
∂t = −
s=1
[ ∂
∂q s
( ˙q s ρ) +
∂ ]
(ṗ s ρ) = −
∂p s
S∑
s=1
( ∂ρ
˙q s + ∂ ˙q s
ρ + ∂ρ ṗ s + ∂ṗ )
s
ρ .
∂q s ∂q s ∂p s ∂p s
Uvrštavanjem Hamiltonovih kanonskih jednadžba gibanja (15.2), u drugi i četvrti član desne
strane gornjeg izraza, dobiva se
∂ρ
∂t
∂ρ
∂t
= −
+
S∑
s=1
S∑
s=1
[ ∂ρ
∂q s
˙q s +
∂2 H
ρ + ∂ρ ṗ s −
∂q s ∂p s ∂p s
( ∂ρ
∂q s
˙q s + ∂ρ
∂p s
ṗ s
)
= 0.
]
∂2 H
ρ ,
∂q s ∂p s
No, lijeva strana gornje jednakosti nije ništa drugo do potpuna vremenska derivacija gustoće
reprezentativnh točaka, tj.
d ρ
d t = 0,
čime je dokazano da je ona vremenska konstanta.
15.5 Prijelaz na kvantnu mehaniku
Formalizam Poissonovih zagrada omogućava prijelaz sa klasične na kvantnu mehaniku.
Umjesto komutativnih klasičnih veličina (općenito kompleksnih funkcija) F, G, · · · za koje vrijedi
komutativnost
F G = G F,
uvode se općenito nekomutativne kvantne veličine (operatori) F , G , · · · , tako da je njihov
komutator povezan s Poissonovim zagradama analognih klasičnih veličina F, G, · · · na slijedeći
način
[F , G ] −
≡ F G − G F = ı {F, G}.
gdje je ı je imaginarna jedinica, ı 2 = −1, a veličina označena s je Planckova konstanta h =
6.62 . . . ·10 −34 J s podijeljena s 2 π. Primjetimo da Planckova konstanta ima dimenziju funkcije