KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.12. VIRIJALNI TEOREM 219
Uvrštavanjem K = GMm dobiva se
T 2
a 3
= 4π2
GM .
Iako su svaki za sebe, T i m različiti za različite planete, omjer T 2 /a 3 ovisi samo o masi Sunca
M i nekoliko konstanata, pa je zato isti za sve planete.
7.12 Virijalni teorem
Promatrajmo česticu s količinom gibanja ⃗p , koja se giba u polju sile ⃗ F (⃗r) i definirajmo veličinu
T izrazom
T = ⃗r · ⃗p .
T je iste dimenzije kao i moment količine gibanja ⃗ L = ⃗r × ⃗p , ali, kao što ćemo uskoro vidjeti,
ima posve drukčije fizičko značenje. Pogledajmo kako se T mijenja u vremenu
d T
d t
= d ⃗r d ⃗p
⃗p + ⃗r
d t d t
= ⃗v ⃗p + ⃗r F ⃗ = ⃗p 2
= 2E k + ⃗r ⃗ F .
m + ⃗r ⃗ F
Usrednjimo gornji izraz po vremenu od početnog trenutka t = 0 do t = t 0 prema slijedećem
obrascu
Lijeva strana je jednaka
〈 d T
d t
〈 f(t) 〉 = 1 t 0
∫ t0
〈 d T
d t
〉
〉
= 1 t 0
∫ t0
0
0
dt f(t),
= 2 〈 E k 〉 + 〈 ⃗r ⃗ F 〉.
dt d T
d t = 1 [
]
T (t 0 ) − T (0) .
t 0
Ako je gibanje periodično s periodom T = t 0 , tada je T (t 0 ) = T (0), pa je
〈 d T
d t
〉
= 0.
Ako gibanje nije periodično, ali se odvija u konačnom dijelu prostora, tada ⃗r i ⃗p imaju konačne
vrijednosti, pa i T (t) = ⃗r · ⃗p koji je dan njihovim umnoškom i sam mora biti konačan. U tom
slučaju je i razlika T (t 0 ) − T (0), konačna, pa će, za dovoljno velike vremenske intervale t 0 biti
〈 d T
d t
〉
= T (t 0) − T (0)
t 0
= 0.
Tako dolazimo do zaključka da je za periodična i prostorno ograničena neperiodična gibanja
〈 ˙ T 〉 = 0,