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424 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
faznog volumena (radi preglednije notacije, kao argumente funkcija nećemo navoditi svih 2S
koordinata plus vrijeme, nego samo koordinate od interesa u danom postupku)
dN ulaz,qs = ρ(q s ) dq 1 · · · ˙q s (q s ) dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S .
izlaz:
Račun broja izlaznih reprezentativnih točaka radimo na isti način kao i za ulazne, s tom razlikom
što sada, umjesto u okolici točke q s , sve veličine računamo u okolici točke q s + dq s . Broj
reprezentativnih točaka koje izlaze iz promatranog volumena (zasjenjeno) kroz plohu q s +dq s =
const., je jednak broju reprezentativnih točaka sadržanih unutar površine označene s izlaz na
slici 15.2, a koja je jednaka
dp s · dt ˙q s (q s + dq s ).
Ponovo, sve ostale diferencijale koordinata držimo nepromjenjenim, pa je ukupna promjena
faznog volumena jednaka
dq 1 · · · ˙q s (q s + dq s ) dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S .
Pomnoži li se ovaj fazni volumen s gustoćom u okolici točke q s + dq s , dobit će se broj reprezentativnih
točaka koje su u vremenskom intervalu dt izašle iz promatranog elementa faznog
volumena
dN izlaz,qs +dq s
= ρ(q s + dq s ) dq 1 · · · ˙q s (q s + dq s ) dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S .
Sada je potrebno gornju gustoću i brzinu razviti u Taylorov red u okolici točke q s po maloj
veličini dq s i zadržati se na vodećem (linearnom) članu razvoja:
∂ ρ(q s )
]
ρ(q s + dq s ) = ρ(q s ) + dq s + O
[(dq s ) 2
∂ q s
˙q s (q s + dq s ) = ˙q s (q s ) + dq s
∂ ˙q s (q s )
∂ q s
]
+ O
[(dq s ) 2 .
Kada gornje razvoje uvrstimo u izraz za dN izlaz,qs +dq s
, medusobno pomnožimo i zadržimo se na
članovima linearnim u dq s , dobit ćemo
dN izlaz,qs +dq s
= ρ(q s ) dq 1 · · · ˙q s (q s ) dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S
∂ ˙q s (q s )
+ ρ(q s ) dq 1 · · · dq s dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S
∂q s
∂ρ(q s )
+ dq s dq 1 · · · ˙q s (q s )dt · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S
∂q s
]
+ O
[(dq s ) 2
Promjena broja reprezentativnih točaka u promatranom faznom volumenu je jednaka razlici
broja reprezentativnih točaka koje su ušle i koje su izašle iz promatranog faznog volumena
( )
∂ ˙qs ∂ρ
dN ulaz,qs − dN izlaz,qs +dq s
= − ρ + ˙q s dq 1 · · · dq s · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S dt
∂q s ∂q s
= − ∂ ( ˙q sρ)
∂q s
= − ∂ ( ˙q sρ)
∂q s
dq 1 · · · dq s · · · dq S dp 1 · · · dp s · · · dp S dt
dΓ dt.