KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

422 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
se definira poput gustoća s kojima smo se već susretali 2 : kao omjer količine mase, naboja ili
čega sličnog i prostora u kojemu se ta masa ili naboj nalaze. Promatrajmo, u trenutku t, točku
faznog prostora definirani s 2S poopćenih koordinata (q 1 , · · · , q S , p 1 , · · · , p S ) . Promjena svake
od koordinata za infinitezimalni iznos dq s
q 1 → q 1 + dq 1 , · · · q S → q S + dq S , p 1 → p 1 + dp 1 , · · · p S → p S + dp S ,
definira diferencijal volumena u faznom prostoru koji ćemo označiti s
dΓ = dq 1 dq 2 · · · dq S dp 1 dp 2 · · · dp S .
Ako se u trenutku t unutar dΓ nalazi dN reprezentativnih točaka, tada se gustoća reprezentativnih
točaka definira slično kao i obična masena gustoća
ρ = dN
dΓ . (15.17)
Primjetimo da je gornja gustoća funkcija svih poopćenih koordinata, svih poopćenih količina
gibanja i vremena
ρ = ρ(q 1 , · · · , q S , p 1 , · · · , p S ; t),
kao i da osim eksplicitne ovisnosti o vremenu, ρ ovisi o vremenu i kroz q s = q s (t) i p s = p s (t).
Vratimo se sada opet područjima R 1 i R 2 koja, po definiciji, sadrže isti broj reprezentativnih
točaka.
Liouville-ov teorem
tvrdi da su i sami 2S-dimenzijski volumeni R 1 i R 2 istog iznosa, ili, drukčije rečeno, gustoća
reprezentativnih točaka je konstantna u vremenu. Ako je nešto konstantno, onda
se to ne mijenja u vremenu, pa mora biti
s=1
d ρ
d t = 0. (15.18)
Prisjetimo li se da ρ može ovisiti o vremenu eksplicitno, ali i implicitno kroz q s = q s (t) i
p s = p s (t), tada gornji izraz glasi
d ρ
d t ≡ ∂ρ S∑
( ∂ρ
∂t + ˙q s + ∂ρ )
ṗ s = 0.
∂q s ∂p s
Nakon što dokažemo gornju tvrdnju, o reprezentativnim točkama možemo razmišljati kao o
česticama nestlačivog (zato jer mu je gustoća konstantna) fluida, koje se u skladu s Hamiltonovim
jednadžbama gibaju kroz fazni prostor 3 . Dokažimo sada Liouville-ov teorem.
Svaka se reprezentativna točka giba u skladu s Hamiltonovim jednadžbama gibanja. Kao rezultat
tog gibanja, mijenja se i gustoća reprezentativnih točaka. Zanima nas vremenska promjena
gustoće reprezentativnih točaka u okolici dane točke faznog prostora. U kratkom vremenskom
2 Sjetimo se npr. definicije gustoće mase
ρ m (⃗r) = dm
dV ,
gdje je dm količina mase sadržana u infinitezimalnom volumenu dV u okolici točke ⃗r.
3 Baš kao što se i čestice pravog nestlačivog fluida gibaju u pravom prostoru.