KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

4.3. KONZERVATIVNE SILE I POTENCIJALNA ENERGIJA 89
Slika 4.3: Uz dokaz konzervativnosti.
koordinatama (x, y, z), kao na slici 4.3.B. Označimo s E P slijedeći integral
E P (x, y, z) = −
= −
= −
∫ (x,y,z)
(x P ,y P ,z P )
∫ (x,y,z)
(x P ,y P ,z P )
∫ (x,y,z)
(x P ,y P ,z P )
⃗F d⃗r (4.13)
[
]
F x (x, y, z)dx + F y (x, y, z)dy + F z (x, y, z)dz
F x (x, y, z)dx −
∫ (x,y,z)
(x P ,y P ,z P )
F y (x, y, z)dy −
∫ (x,y,z)
(x P ,y P ,z P )
F z (x, y, z)dz.
Po pretpostavci, gornji integral ne ovisi o putanji, pa za putanju C, možemo odabrati slijedeći
niz od tri pravaca 11 :
p 1 : (x P , y P , z P ) → (x, y P , z P ) ,
p 2 : (x, y P , z P ) → (x, y, z P ),
p 3 : (x, y, z P ) → (x, y, z).
C ≡ p 1 ⊕ p 2 ⊕ p 3 .
Na prvom se pravcu samo x mijenja od x P do x, a preostale dvije koordinate imaju nepromijenjene
vrijednosti y P i z P . Zato je na ovom pravcu
dx ≠ 0, dy = dz = 0
i od gornja tri integrala, doprinos različit od nule dolazi samo od prvog člana
−
∫ x
11 Pravce odabiremo zato jer je po njima lagano integrirati.
x P
F x (η, y P , z P ) d η.