KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.4. EULEROVI KUTOVI 373
Lako je vidjeti da su inverzne matrice upravo jednake transponiranim matricama
E −1
Φ = E T Φ, E −1
Θ = E T Θ, E −1
Ψ = E T Ψ.
E −1
Ψ E −1
Θ E −1
Φ = (E ΦE Θ E Ψ ) T .
Izravnim množenjem matrica, se dobije za E Φ E Θ E Ψ
⎡
cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ − cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ sin Φ sin Θ
sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ − cos Φ sin Θ
⎢
⎣
sin Θ sin Ψ sin Θ cos Ψ cos Θ
⎤
,
⎥
⎦
i za E −1
Ψ E −1
Θ E −1
Φ
⎡
(13.17)
cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ sin Θ sin Ψ
− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ sin Θ cos Ψ
.
⎢
⎥
⎣
sin Φ sin Θ − cos Φ sin Θ cos Θ
⎦
Uvrštavanjem (13.17) u (13.15), dobiju se relacije
⎤
(13.18)
ˆx = ˆx ′ (cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ) + ŷ ′ (− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ) + ẑ ′ sin Φ sin Θ,
ŷ = ˆx ′ (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + ŷ ′ (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ) − ẑ ′ cos Φ sin Θ,
ẑ = ˆx ′ sin Θ sin Ψ + ŷ ′ sin Θ cos Ψ + ẑ ′ cos Θ, (13.19)
a uvrštavanjem (13.18) u (13.16) dobiju se inverzne relacije
ˆx ′ = ˆx (cos Φ cos Ψ − sin Φ cos Θ sin Ψ) + ŷ (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + ẑ sin Θ sin Ψ,
ŷ ′ = ˆx (− cos Φ sin Ψ − sin Φ cos Θ cos Ψ) + ŷ (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ) + ẑ sin Θ cos Ψ,
ẑ ′ = ˆx sin Φ sin Θ − ŷ cos Φ sin Θ + ẑ cos Θ. (13.20)
Nadalje ćemo se ovim relacijama korisiti kod opisa gibanja zvrka, pri čemu će (ˆx , ŷ , ẑ ) biti
inercijski sustav (nepomičan u prostoru), dok će (ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′ ) biti sustav glavnih osi tijela ê j
ê 1 ≡ ˆx ′ , ê 2 ≡ ŷ ′ , ê 3 ≡ ẑ ′ .
Izrazimo kutnu brzinu vrtnje tijela ⃗ω u odnosu na inercijski sustav (ˆx , ŷ , ẑ ), preko Eulerovih
kutova: prvi korak je bio zakret za kut Φ oko osi ẑ = Ẑ , što daje doprinos od ẑ ˙Φ ; drugi je
korak zakret oko osi ˆX =
′ ˆX za kut Θ, što daje doprinos od ˆX ′ ˙Θ ; treći je korak zakret oko
osi Ẑ ′ = ẑ ′ za kut Ψ, što daje doprinos od ẑ ′ ˙Ψ . Sva tri doprinosa zajedno, odreduju kutnu
brzinu vrtnje
⃗ω = ẑ ˙Φ + ˆX ′ ˙Θ + ẑ
′ ˙Ψ (13.21)
= ˙Φ (ê 1 sin Θ sin Ψ + ê 2 sin Θ cos Ψ + ê 3 cos Θ) + ˙Θ (ê 1 cos Ψ − ê 2 sin Ψ) + ê 3 ˙Ψ
= ê 1 ( ˙Φ sin Θ sin Ψ + ˙Θ cos Ψ) + ê 2 ( ˙Φ sin Θ cos Ψ − ˙Θ sin Ψ) + ê 3 ( ˙Φ cos Θ + ˙Ψ ),