KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

4.5. STATIKA ILI RAVNOTEŽA ČESTICE 97
Primjer: 4.2 Pokažite da polje potencijalne energije E p (x, y) = x · y, iako zadovoljava relaciju
(4.28), ipak nema ekstrem u točki (0, 0), tj. ishodište nije ravnotežni položaj.
R: Pokažimo majprije da E p zadovoljava uvjete(4.28):
Slika 4.6: Ilustracija sedlaste plohe potencijalne energije.
x*y
100
50
0
-50
-100
10
5
x
0
-5
-10
5
10
0
-5
-10
y
∂E p
∂x = y = 0 za x = y = 0, i ∂E p
∂y
= x = 0 za x = y = 0.
Dakle, i E p (x, y) i njezine prve derivacije su jednake nuli u ishodištu. Nacrtamo li
E p uokolici ishodišta, dobit ćemo sedlastu plohu (pozitivan E p u prvom i trećem, a
negativan u drugom i četvrtom kvadrantu) kao na slici 4.6. Očito je da ishodište
nije ekstremna tj. ravnotežna točka čestice u polju potencijalne energije E p .
Dakle, u prostoru dimenzije veće od jedan, relacije (4.28) jesu nužan, ali ne i dovoljan uvjet
za odredivanje ravnotežnog položaja čestice. Da bi se odredio ravnotežan položaj, potrebno je
studirati i druge parcijalne derivacije potencijalne energije. Radi jednostavnosti, zadržat ćemo
se na dvodimenzijskom primjeru. Razvijmo u red funkciju potencijalne energije u okolici točke
(x 0 , y 0 )
E p (x, y) = E p (x 0 , y 0 ) + (x − x 0 ) ∂E p
∂x ∣ + (y − y 0 ) ∂E p
x0 ,y 0
∂y ∣
x0 ,y 0
+ 1 2 (x − x 0) 2 ∂ ∣ 2 E p ∣∣∣x0
+ (x − x
∂x 2 0 )(y − y 0 ) ∂ 2 E p
,y 0
∂x∂y ∣ + 1
x0 ,y 0
2 (y − y 0) 2 ∂ ∣ 2 E p ∣∣∣x0
+ · · · ,
∂y 2 ,y 0