KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA ČESTICA 297
da rezultat djelovanja matrice na vektor, bude taj isti vektor V ⃗ pomnožen nekim skalarom λ,
tj. da vrijedi A V ⃗ = λ V ⃗ . U ovom problemu su nepoznanice vektor V ⃗ i skalar λ. Vektor
⃗V se naziva svojstveni ili vlastiti vektor matrice A, a skalar λ se zove svojstvena ili vlastita
vrijednost. Svojstvene vrijednosti se odreduju kao rješenja jednadžbe Det [A − λ 1] = 0,
gdje je s 1 označena jedinična N × N matrica. To je algebarska jednadžba N-tog reda koja
je zadovoljena za N, općenito kompleksnih, vrijednosti λ n . Kada jednom izračunamo sve λ n ,
možemo izračunati i njima pridružene svojstvene vektore: uzmemo neki odredeni λ n i uvrstimo
ga u jednadžbu A V ⃗ n = λ n V ⃗ n . To je sada N×N linearni sustav za N komponenta vektora V ⃗ n ,
koji riješimo i dobijemo svojstveni vektor V ⃗ n pridružen svojstvenoj vrijednosti λ n . Matrica A je
realna i simetrična matrica N-tog reda, a za takve se matrice pokazuje da imaju sve svojstvene
vrijednosti realne i da su njihovi svojstveni vektori V ⃗ n medusobno okomiti, tj. da čine bazu
N-dimenzijskog prostora. To znači da se svaki proizvoljni vektor u tom prostoru može napisati
kao linearna kombinacija tih baznih vektora V ⃗ = ∑ n c ⃗ n V n (gdje su c n konstante).
U našem primjeru, fizički sadržaj svojstvenih vrijednosti jesu frekvencije titranja sustava vezanih
harmonijskih oscilatora λ n ≡ m ωn/K, 2 a svojstveni vektori predstavljaju pomake oscilatora
u odnosu na njihove ravnotežne položaje V ⃗ n ≡ Ψ ⃗ n .
Izračunajmo najprije svojstvene frekvencije. Nazovimo M = A − (m ω 2 /K) 1
⎡
⎤
c 0 −1 0 0 · · · 0
−1 c 0 −1 0 · · · 0
0 −1 c
M =
0 −1 · · · 0
⎢ . . . . . .
,
⎥
⎣ 0 · · · 0 −1 c 0 -1 ⎦
0 · · · 0 0 −1 c 0
gdje smo uveli pokratu c 0 ≡ (2 − m ω 2 /K). Zadatak je riješiti jednadžbu
Det M = 0.
Izračunajmo determinantu razvojem po prvom redu (ili stupcu), pri čemu ćemo eksplicite voditi
evidenciju o dimenziji matrice čiju determinantu računamo
Det M N = c 0 − (−1)
−1
.
c 0
.
−1
.
·
.
c 0 −1 0 ·
· 0 −1 c 0
· −1 c 0 -1
−1 −1 0 0 ·
0 c 0 −1 0 ·
0
.
−1
.
c 0
.
−1
.
·
.
.
· 0 0 −1 c 0
· 0 −1 c 0 -1
Prvu determinantu na desnoj strani prepoznajemo kao Det M N−1 , a drugu determinantu razvijemo
po prvom stupcu
Det M N = c 0 Det M N−1 + 1 · (−1)
c 0 −1 0 0 ·
−1 c 0 −1 0 ·
0
.
−1
.
c 0
.
−1
.
·
.
.
· 0 0 −1 c 0
· 0 −1 c 0 -1