KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

420 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
tj. ukoliko su zadovoljene relacije (15.13), transformacija (15.12) je kanonska, zato jer i nove
varijable zadovoljavaju kanonske jednadžbe gibanja (15.16). Do istog se zaključka dolazi i
računom vremenske promjene p s
d p s
d t
=
S∑
s ′ =1
( ∂ ps
˙Q s ′ + ∂ p s
˙
∂ Q s ′ ∂ Q s ′
P s ′
= {p s , H(q, p)} q,p = {p s , ˜H(Q s ′, P s ′)} Q,P =
⇒
˙Q s = ∂ ˜H
∂ P s
= {Q s , ˜H},
)
S∑
s ′ =1
(
∂ p s
∂ Q s ′
P˙
s = − ∂ ˜H = {P s ,
∂ Q ˜H}.
s
∂ ˜H
∂ P s ′
− ∂ ˜H
∂ Q s ′
∂ p s
∂ P s ′
Zaključujemo da su relacije (15.13) uvjet na preobrazbu (15.12), da bi ona bila kanonska.
)
Primjer: 15.2 Provjerite je li preobrazba
kanonska.
q = ln(1 + √ Q sin P ), p = −2(1 + √ Q sin P ) √ Q cos P,
R: Broj stupnjeva slobode je S = 1. Prve dvije Poissonove zagrade iz (15.13)
su očito zadovoljene, pa preostaje izračunati treću
{q, p} Q,P = ∂ q
∂ Q
∂ p
∂ P − ∂ p
∂ Q
∂ q
∂ P
∂ q
∂ Q = sin P
2 √ Q(1 + √ Q sin P ) ,
√
∂ q Q cos P
∂ P = 1 + √ Q sin P ,
∂ p
∂ Q = − sin P cos P − (1 + √ Q sin P ) cos P
√ , Q
∂ p
∂ P = −2Q cos2 P + 2(1 + √ Q sin P ) √ Q sin P.
Izravno uvrštavanje gornjih parcijalnih derivacija u izraz za Poissonovu zagradu,
daje {q, p} Q,P = 1, čime je pokazano da je preobrazba kanonska.
15.4 Liouvilleov teorem
Neka je zadan konzervativni sustav čestica sa S stupnjeva slobode. Svako mehaničko stanje
sustava je jednoznačno odredeno zadavanjem vrijednosti svih položaja q s i svih količina gibanja
p s čestica sustava, za s = 1, 2, · · · , S. Uvede li se pojam faznog prostora ili (q, p) prostora
kao 2S-dimenzijskog prostora čije su koordinate q s i p s , tada se svako mehaničko stanje sustava
može predočiti jednom točkom u faznom prostoru. Takva se točka
(q 1 , q 2 , · · · , q S , p 1 , p 2 , · · · , p S )