KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

172 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Sama gravitacijska sila je jednaka umnošku mase čestice, koja u ovom slučaju ima značenje
teške mase ili gravitacijskog naboja, i gravitacijskog polja 11
⃗F G = m⃗g .
Primjetimo da gravitacijsko polje ima dimenziju ubrzanja. Uvodenjem pojma polja je riješen
tzv. problem djelovanja na daljinu. Naime, ljudi su se pitali: kako to da čestica u točki ⃗r zna
da se u točki ⃗r ′ nalazi neka druga čestica koja na nju djeluje nekakvom silom? Odgovor je
pronaden u pojmu polja: svaka čestica (pa time i tijelo), uslijed svoje mase, stvara oko sebe
gravitacijsko polje. Ovo polje mijenja svojstva prostora u okolici čestice u smislu da ako se u
blizini ove čestice (ili tijela) izvora polja, nade neka druga (probna) čestica, na nju će djelovati
sila. Ova je sila jednaka umnošku mase m (tj. naboja - gravitacijskog ili električnog, ovisno o
kojoj se sili radi) probne čestice i vrijednosti vektora polja čestice izvora, ⃗g (⃗r) u onoj točki u
kojoj se nalazi probna čestica.
konzervativnost:
Promatrajmo česticu mase m koja se giba u polju gravitacijske sile koja potječe od čestice
mase m 1 koja se nalazi u točki ⃗r 1 . Dokažimo da je gravitacijska sila konzervativna tako što
ćemo pokazati da rad gravitacijske sile obavljen nad česticom mase m na putu izmedu bilo koje
početne točake ⃗r = ⃗r p i bilo koje konačne točke ⃗r = ⃗r k , ne ovisi o obliku putanje koja povezuje
te dvije točke, nego samo o krajnjim točkama.
W p,k =
∫ ⃗rk
⃗r p
⃗ FG (⃗r) d⃗r = −G m m 1
∫ ⃗rk
⃗r − ⃗r 1
⃗r p
|⃗r − ⃗r 1 | d⃗r. 3
Pod integralom je ⃗r 1 konstantno, pa je d⃗r = d(⃗r − ⃗r 1 ). Uvedemo li novu varijablu ⃗ R = ⃗r − ⃗r 1 ,
lako se pokazuje da je ⃗ R d ⃗ R = RdR
⃗R · d ⃗ R = R ˆR · d(R ˆR ) = R ˆR · (dR ˆR + Rd ˆR ).
Budući da je d ˆR okomit na sam jedinični vektor ˆR , to će drugi član na desnoj strani gornjeg
izraza biti jednak nuli. Sada za rad možemo napisati
∫ ⃗R k
W p,k = − G m m 1 dR R (
)
⃗R p
R = − G m m 1
3 1
|⃗r p − ⃗r 1 | − 1
.
|⃗r k − ⃗r 1 |
Vidimo da rad ovisi samo o početnom i konačnom položaju čestice mase m, tj. sila koja je
obavila rad je konzervativna. U odjeljku 4.3 je pokazano da se za konzervativne sile može
definirati skalarno polje, koje se naziva potencijalna energija E p ,
⃗F G = − −→ ∇E p ,
a rad se obavlja na račun promjene potencijalne energije
W p,k = −∆E p = E p (⃗r p ) − E p (⃗r k ).
Usporedbom dva gornja izraza za W p,k , se vidi da je potencijalna energija čestice mase m koja
se nalazi u točki ⃗r, dana sa
E p (⃗r) = − G m m 1
|⃗r − ⃗r 1 | + c 0,
11 Slično kao što je elektrostatske Coulombova sila (str. ) jednaka umnošku električnog naboja i elektrostatskog polja.