KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

126POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Ako se čestica pomakne iz ravnotežnog položaja lijevo ili desno po osi x, opruga će se rastegnuti
ili sabiti (slike 6.1.B i C) za neki iznos x. Ako je x mali prema duljini opruge, tada će opruga na
česticu djelovati silom koja je srazmjerna pomaku x (Hookov 1 zakon) i bit će uvijek usmjerena
prema položaju ravnoteže (u ovom slučaju prema ishodištu)
⃗F el = −K x ˆx .
Konstanta K je primjer nečega što se općenito naziva konstantom vezanja. To je konstanta
koja opisuje jakost medudjelovanja promatranog sustava i okoline. U ovom primjeru, sustav je
jednostavno jedna čestica, a okolina s kojom ona medudjeluje je opruga. Pozitivna konstanta
K se naziva konstanta opruge ili elastična konstanta, a opisuje kako se lako ili teško opruga
rasteže. Podrijetlo elastične sile je u (električnim) silama koje djeluju medu molekulama tvari
od koje je izradena opruga. Ako zanemarimo trenje izmedu čestice i podloge kao i trenje izmedu
čestice i molekula sredstva kroz koje se čestica giba, jedina sila koja djeluje je elastična sila
i sustav sa slike 6.1 predstavlja slobodni harmonijski oscilator. Jednadžba gibanja čestice na
koju djeluje samo elastična sila glasi
mẍ = −Kx,
a sustav čije je gibanje opisano gornjom jednadžbom se zove slobodni jednodimenzijski
harmonijski oscilator (ili linearni harmonijski oscilator). Samo gibanje se zove harmonijsko
gibanje. Riješimo jednadžbu gibanja uz najopćenitije početne uvjete: u početnom trenutku
t = 0, čestica je otklonjena iz položaja ravnoteže za x 0 i ima brzinu v 0
t = 0 : x(0) = x 0 , ẋ (0) = v 0 . (6.1)
Uvede li se pozitivna konstanta ω 0 = √ K/m, jednadžba gibanja glasi
ẍ = −ω 2 0 x. (6.2)
Gornja jednadžba kaže da treba naći funkciju čija je druga derivacija srazmjerna negativnoj
vrijednosti same funkcije. Takvo svojstvo imaju funkcije
Eulerovom relacijom
sin αt, cos αt, e ı αt , e −ı αt .
e ±ı αt = cos αt ± ı sin αt,
povezane su eksponecijalna i trigonometrijske funkcije, pa se možemo zadržati npr. samo na
trigonometrijskim funkcijama. Zbog linearnosti diferencijalne jednadžbe (6.2), njezino opće
rješenje je linearna kombinacija sinusa i kosinusa
x(t) = C cos αt + S sin αt
s nepoznanicama C, S i α. Ove tri nepoznanice ćemo odrediti pomoću tri jednadžbe: jednadžbe
gibanja (6.2) i dvije jednadžbe početnih uvjeta (6.1).
Uvrštavanjem gornjeg izraza u (6.2), slijedi
α = ± ω 0 .
Budući da su C i S još neodredene, možemo odabrati bilo koji predznak, npr. pozitivni 2
x(t) = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t.
1 Robert Hook, engleski fizičar, 1635 - 1703
2 Odabir negativnog predznaka samo znači redefiniciju S → −S.