KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

154POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
gdje je Q n (t) polinom n-tog reda u varijabli t, čiji se koeficijenti odreduju uvrštavanjem x p
u jednadžbu i usporedbom članova s istom potencijom t. Ako a jeste korjen karakteristične
jednadžbe, tj. ako je
tada se partikularno rješenje traži u obliku
ϕ(a) = 0,
gdje je r višestrukost korjena a (tj. r = 1 ili je r = 2).
x p = x r e a t Q n (t), (6.49)
(2)
Ako je nehomogeni dio oblika
[ ]
f(t) = e a t P n (t) cos bt + Q m (t) sin bt
gdje su P n (t) i Q m (t) polinomi n-tog i m-tog reda u varijabli t.
karakteristične jednadžbe, tj. ako je
Ako a ± ı b nisu korjeni
tada se partikularno rješenje traži u obliku
ϕ(a ± ı b) ≠ 0,
x p = e a t [
C N (t) cos bt + S N (t) sin bt
gdje su C N (t) i S N (t) polinomi reda N = max {n, m} u varijabli t, čiji se koeficijenti odreduju
uvrštavanjem x p u jednadžbu i usporedbom članova s istom potencijom t i uz istu trigonometrijsku
funkciju. Ako a ± ı b jeste korjen karakteristične jednadžbe, tj. ako je
tada se partikularno rješenje traži u obliku
ϕ(a ± ı b) = 0,
]
,
x p = x r e a t [
C N (t) cos bt + S N (t) sin bt
gdje je r višestrukost korjena a ± ı b (tj. r = 1 ili je r = 2).
]
, (6.50)
Primjer: 6.4 tekst primjera
R: tekst rješenja
6.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator
U prethodnim smo odjeljcima promatrali isključivo jednodimenzijsko gibanje čestice pod djelovanjem
elastične sile (i sile prigušenja, vanjske sile itd.) Promotrimo sada dvodimenzijsko
gibanje čestice pod djelovanjem samo elastične sile u ravnini (x, y)
⃗F = −K x x ˆx − K y y ŷ , (6.51)