KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.5.
CILINDRIČNI KOORDINATNI SUSTAV 43
usmjereni u pravcu porasta odgovarajuće koordinate
(slika 2.15) uz konstantne vrijednosti preostale dvije koordinate. Ako radij vektoru ⃗r povećavamo
koordinatu ρ za infinitezimalni iznos dρ, a ϕ i z držimo konstantnim, rezultatntni
vektor,
⃗r(ρ + dρ, ϕ, z) − ⃗r(ρ, ϕ, z)
ima smjer ˆρ . Isti smjer ima i gornji vektor pomnožen skalarom 1/dρ. Smjer se neće promijeniti
ni kada izvedemo granični prijelaz dρ → 0, koji zatim prepoznajemo kao derivaciju ⃗r po ρ
( )
⃗r(ρ + dρ, ϕ, z) − ⃗r(ρ, ϕ, z) ∂ ⃗r
ˆρ ∼ lim
= .
dρ→0 dρ
∂ ρ
No, gornji vektor još ne mora biti i jediničnog iznosa. Da bismo ga napravili jediničnim, treba
ga podijeliti njegovim iznosom, kao u (2.1),
( ) / ∣
∂ ⃗r
∣∣∣∣ ( )
∂ ⃗r
ˆρ =
∂ ρ
∂ ρ ∣
Na sličan način se odreduju i preostala dva jedinična vektora ˆϕ i ẑ
( ) / ∣
∂ ⃗r
∣∣∣∣ ( )
∂ ⃗r
( ) / ∣ ∂ ⃗r ∣∣∣∣ ( ) ∂ ⃗r
ˆϕ =
∂ ϕ
∂ ϕ ∣ ,
ẑ = ∂ z
∂ z
ρ,z
ρ,z
ϕ,z
Izračunajmo ove jedinične vektore, koristeći izraz za radij vektor u pravokutnom koordinatnom
sustavu ⃗r = x ˆx + y ŷ + z ẑ i vezu cilindričkog s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.57).
Započnimo s jediničnim vektorom ˆρ
pa je
( ∂ ⃗r
∂ ρ
)
( )
∂ ⃗r
∣ ∂ ρ
ϕ,z
ϕ,z
∣
= ∂ ∂ ρ
ϕ,z
(
)
xˆx + yŷ + zẑ
ϕ,z
ρ,ϕ
ϕ,z
[
ˆx (ρ cos ϕ) + ŷ (ρ sin ϕ) + ẑ z
= ∂ ∂ ρ
= ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ,
√
= cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1,
ˆρ = ˆρ (ϕ) = ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ. (2.58)
Na sličan način se odreduju i preostala dva jedinična vektora ˆϕ i ẑ :
( ) ∂ ⃗r
= ∂ (
)
xˆx + yŷ + zẑ
∂ ϕ
ρ,z
∂ ϕ
ρ,z
= ∂ [
( )
∂ ⃗r
∣ ∂ ϕ
ρ,z
∣
=
=
]
ˆx (ρ cos ϕ) + ŷ (ρ sin ϕ) + ẑ z
]
,
∂ ϕ
[
ˆx ρ(−) sin ϕ + ŷ ρ cos ϕ
√
ρ 2 (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = ρ,
]
ϕ,z
ρ,z
ρ,ϕ
∣ .