KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.5. GIBANJE ZVRKA 377
Ako na desnoj strani gornjeg izraza uzmemo u obzir da je ω 1 = ˙Θ , obje strane gornjeg izraza
možemo napisati kao vremenske derivacije
(
1 d ω
2
2 I 1
1
d t + d )
ω2 2
+ 1 d t 2 I d
(
3 ω 3 +
d t
˙Ψ
) 2 d cos Θ
= −m g l .
d t
Integracijom po vremenu gornje jednadžbe, dobiva se konstanta dimenzije energije
1
2 I (
1 ω
2
1 + ω2) 2 1
(
+
2 I 3 ω 3 + ˙Ψ
) 2
+ m g l cos Θ = const. ≡ E.
Konačni oblik konstantne energije se dobije uvrštavanjem (13.27) i (13.29) u gornji izraz
1
(
2 I 1 ˙Θ 2 + ˙Φ 2 sin Θ)
2 + 1 2 I 3 Ω 2 + m g l cos Θ = E.
To je zakon o sačuvanju mehaničke energije zvrka.
Treća konstanta:
Pokazali smo, relacijom (13.11), da je u odsustvu momenata vanjskih sila, moment količine
gibanja konstantan (sačuvan). Sada je moment vanjskih sila različit od nule, pa neće cijeli ⃗ L
biti sačuvan, nego će biti sačuvana samo ona njegova komponenta, koja je okomita na moment
vanjskih sila (jer ga, zbog medusobne okomitosti, ne može promjeniti). Sa slike 13.10 i iz relacije
(13.25) vidimo da ⃗ M ima samo ê 1 komponentu koja leži u ravnini (x, y) i zato zaključujemo
d L x
d L y
d L z
= M x ≠ 0, = M y ≠ 0, = M z = 0 ⇒ L z = const.
d t
d t
d t
da će samo z komponenta momenta količine gibanja biti konstantna. Izračunajmo L z
⃗L = L x ˆx + L y ŷ + L z ẑ = I 1 ω 1 ê 1 + I 1 ω 2 ê 2 + I 3 (ω 3 + ˙Ψ )
} {{ }
= Ω
L z = L ⃗ ẑ = I 1 ω 1 (ê 1 ẑ ) + I 1 ω 2 (ê 2 ẑ ) + I 3 Ω (ê 3 ẑ ).
No, sa slike 13.10, se vidi da je
ê 1 ẑ = 0, ê 2 ẑ = cos(π/2 − Θ) = sin Θ, ê 3 ẑ = cos Θ.
Uvrstivši još, ω 2 = ˙Φ sin Θ, dobiva se
L z = I 1 ˙Φ sin 2 Θ + I 3 Ω cos Θ.
Da bismo se uvjerili da je L z = const., treba vidjeti da njegova vremenska derivacija iščezava
d L
[
z
= I 1 (¨Φ sin Θ + 2
d t
˙Φ ˙Θ cos Θ) − I 3 Ω ˙Θ
]
sin Θ
a to je, zbog druge od jednadžba (13.30), jednako nuli, dakle je L z konstantan u vremenu
L z = const.
ê 3 ,
/ · ẑ
Stacionarna precesija
Vratimo se sada jednadžbama (13.30) i nadimo uvjete za stacionarnu precesiju zvrka. Stacionarnom
precesijom se naziva precesija kod koje je kut Θ glavne osi ê 3 prema osi ẑ inercijskog
sustava, konstantan (dakle, bez nutacije)
Θ = const. ⇒ ˙Θ = ¨Θ = · · · = 0.