KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

238 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI
U gornjoj je jednadžbi sva ovisnost o vremenu na desnoj strani, eksplicitna i zato se jednadžba
može riješiti izravnom integracijom
¨⃗r = ⃗ F
m − 2⃗ Ω × ⃗v 0 − 2t
m ⃗ Ω × ⃗ F + O(Ω 2 )
/ ∫ t
dt
˙⃗r(t) − ˙⃗r(0) =
F ⃗ m t − 2⃗ Ω × ⃗v 0 t − 2 t 2 Ω
m 2 ⃗ × F ⃗ + O(Ω 2 )
˙⃗r(t) =
F
⃗v 0 + ⃗ m t − 2t⃗ Ω × ⃗v 0 − t2 Ω
m ⃗ × F ⃗ + O(Ω 2 )
0
/ ∫ t
dt
F
⃗r(t) − ⃗r(0) = ⃗v 0 t + ⃗ t 2
m 2 − t2 Ω ⃗ × ⃗v0 − t3
Ω
3m ⃗ × F ⃗ + O(Ω 2 )
F
⃗r(t) = ⃗r 0 + ⃗v 0 t + ⃗ 2m t2 − t 2 Ω ⃗ × ⃗v0 − t3
Ω
3m ⃗ × F ⃗ + O(Ω 2 ).
Gornja jednadžba daje položaj čestice mase m u neinercijskom sustavu (x, y, z) u trenutku
t > 0. F ⃗ je zbroj svih vanjskih sila konstantnih u vremenu (to su sile koje bi djelovale na
česticu i kada bi bilo Ω = 0). Da bismo gornju vektorsku jednadžbu rastavili na njezine
skalarne komponente, moramo najprije raspisati vektorske umnoške na desnoj strani. Sa slike
8.6 vidimo da je
0
Slika 8.6: Uz prikaz ⃗ Ω u sustavu (x, y, z).
⃗Ω = Ω Ẑ
Ẑ = (Ẑ · ˆx )ˆx + (Ẑ · ŷ )ŷ + (Ẑ · ẑ )ẑ
= cos(λ + π/2)ˆx + 0 · ŷ + cos λẑ
= − sin λ ˆx + cos λ ẑ
⃗Ω = Ω (− sin λˆx + cos λẑ ).