KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

More documents

Recommendations

Info

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA ČESTICA 301 ili po komponentama ψ(j, t) = N∑ n=1 ψ n (j, t) = N∑ n=1 sin njπ N + 1 [ ] a n cos(ω n t) + b n sin(ω n t) . (11.9) U gornjem izrazu je ω n = 2 √ K/m sin[nπ/(2(N +1))], a 2 N konstanata a n i b n se odreduju iz 2N početnih (u t = 0) vrijednosti položaja, ψ(j, t = 0), i brzina, ˙ψ(j, t = 0) svih N harmonijskih oscilatora. 11.1.1 Granica kontinuuma Promatrajmo sada gornji skup harmonijskih oscilatora u granici kada njihov broj N neograničeno raste, ali se istovremeno udaljenost medu njima a 0 neograničeno smanjuje, tako da udaljenost izmedu prvog i posljednjeg od njih N · a 0 = L ostaje konstantna. S M ćemo označiti ukupnu masu sustava M = Nm. Neka se harmonijski oscilatori nalaze rasporedeni duž osi x. Sada otklon od ravnotežnog položaja više nećemo označavati s ψ(j) nego s ψ(x), gdje je x = j · a 0 . Najmanji razmak medu harmonijskim oscilatorima je ∆ x = 1 · a 0 . Jednadžba gibanja diskretnog sustava (11.2) ∂ 2 ψ(j, t) ∂ t 2 = K m ∂ 2 ψ(j, t) ∂ j 2 , s rubnim uvjetima ψ(j = 0, t) = ψ(j = N + 1, t) = 0, prelazi sada u jednadžbu (imajmo sve vrijeme na umu da je ∆ x = a 0 → 0) tj. ∂ 2 ψ(j, t) ∂ t 2 = a 2 0 K m ∂ 2 ψ(x, t) ∂ x 2 , ∂ 2 ψ ∂t 2 = v2 ∂2 ψ ∂x 2 . (11.10) To je parcijalna diferncijalna jednadžba drugog reda koja se zove jednodimenzijska valna jednadžba longitudinalnog vala. Veličina v = a 0 √ K/m je brzina širenja vala. O njezinom općenitom rješavanju ćemo više govoriti u slijedećem odjeljku. Zamjenom j = x/a 0 i L = a 0 N, opće rješenje ove jednadžbe smo dobili u obliku (11.9), prelazi u ψ(x, t) = N∑ n=1 sin nπx [ ] a n cos(ω n t) + b n sin(ω n t) , L a frekvencije titraja su ω n = √ 2KN M sin α n 2 , gdje kut α n , u skladu s (11.6), poprima N diskretnih vrijednosti izmedu 0 i π.
302 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA 11.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sustava čestica Promotrimo sada sustave kod kojih je broj čestica po jedinici duljine (u jednoj dimenziji ili po jedinici površine za dvodimenzijske sustave) toliko velik da možemo govoriti o (približno) kontinuiranoj raspodjeli mase unutar sustava. Opisat ćemo male transverzalne titraje jednog takvog sustava, npr. napete niti glazbenog instrumenta (violina, klavir - jednodimenzijski sustav). ili membrane bubnja (dvodimenzijski sustav). 11.2.1 Titranje napete niti Promatrajmo napetu elastičnu nit, položenu duž osi x i učvršćenu u točkama x = 0 i x = L (slika 11.3.A). Neka je linijska masena gustoća niti konstantna i jednaka λ 0 . Neka nit miruje u Slika 11.3: (A) Napeta nit. (B) Mali titraji napete niti. položaju ravnoteže sve do trenutka t = 0. U t = 0, vanjska sila trenutno izbaci nit iz položaja ravnoteže (kasnije sila više ne djeluje). Nit će (ako zanemarimo trenje) nastaviti titrati oko svog ravnotežnog položaja (slika 11.3.B). Transverzalni (okomiti) otklon od položaja ravnoteže u točki x u trenutku t, ćemo označiti s ψ(x, t). Osim transverzalnih, pojedini elementi niti će izvoditi i longitudinalne (uzdužne) pomake, koji su po svom iznosu puno manji od iznosa transverzalnih pomaka i zato ćemo ih zanemarivati. Uočimo jedan element niti duljine ds i mase dm = λ 0 ds i promatrajmo sile napetosti kojima susjedni elementi niti djeluju na promatrani element (slika 11.4). Na element djeluje i gravitacijska sila, koju ćemo sada radi jednostavnosti, zanemariti (pretpostavljamo da je ona po iznosu puno manja od sila koje uzimamo u račun). U oznakama sa slike 11.4, sile napetosti na rubovima promatranog elementa su iznosa F nap (x) i F nap (x + dx). Ukupna sila u vodoravnom, tj. x smjeru je F x = F nap (x + dx) cos α(x + dx) − F nap (x) cos α(x) = 0. To je sila koja želi pomaknuti promatrani element u vodoravnom smjeru. Budući da zanemarujemo pomake elementa u vodoravnom smjeru, gornji smo izraz izjednačili s nulom. No, za
Page 1 and 2:
KLASIČNA MEHANIKA UVOD Zvonko Glum
Page 4 and 5:
Sadržaj 1 Uvod 1 I Mehanika jedne
Page 6 and 7:
SADRŽAJ ix 9 Specijalna teorija re
Page 8 and 9:
Ovo su bilješke s autorovih predav
Page 10 and 11:
Predgovor Iz područja teorijske me
Page 12 and 13:
Kazalo kratica i simbola ⃗A vekto
Page 14 and 15:
Poglavlje 1 Uvod Na početku svake
Page 16 and 17:
Naprotiv, snižavanjem temperature
Page 18:
Dio I Mehanika jedne čestice 5
Page 21 and 22:
8 POGLAVLJE 2. MATEMATIČKI UVOD -
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
70 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 85 and 86:
72 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Ubrzanje
Page 87 and 88:
74 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Prema sa
Page 89 and 90:
76 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 91 and 92:
78 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA
Page 93 and 94:
80POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GI
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
100POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI G
Page 115 and 116:
102 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
126POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVA
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
166 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENT
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
230 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINE
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264: 250 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINE
Page 265 and 266: 252 POGLAVLJE 9. SPECIJALNA TEORIJA
Page 268 and 269: Poglavlje 10 Sustavi čestica 10.1
Page 270 and 271: 10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUST
Page 276 and 277: 10.2. SREDIŠTE MASE 263 Uvedu li s
Page 278 and 279: 10.3. KOLIČINA GIBANJA SUSTAVA ČE
Page 280 and 281: 10.4. MOMENT KOLIČINE GIBANJA SUST
Page 282 and 283: 10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 269
Page 284 and 285: 10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 271
Page 286 and 287: 10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 288 and 289: 10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 290 and 291: 10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO
Page 296 and 297: 10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 298 and 299: 10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 300 and 301: 10.10. SUDARI ČESTICA 287 kao savr
Page 302 and 303: 10.10. SUDARI ČESTICA 289 Pomoću
Page 304 and 305: 10.10. SUDARI ČESTICA 291 Slika 10
Page 306 and 307: Poglavlje 11 Mali titraji sustava
Page 308 and 309: 11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI J
Page 316 and 317: 11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KO
Page 336 and 337: 11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE
Page 342 and 343: 11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 329
Page 344 and 345: 11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 331
Page 346 and 347: Poglavlje 12 Ravninsko gibanje krut
Page 348 and 349: 12.2. MOMENT TROMOSTI 335 Slika 12.
Page 350 and 351: 12.3. TEOREMI O MOMENTIMA TROMOSTI
Page 352 and 353: 12.4. PAROVI SILA 339 Slika 12.6: U
Page 354 and 355: 12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 356 and 357: 12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 358 and 359: 12.6. FIZIČKO NJIHALO 345 Slika 12
Page 360 and 361: 12.6. FIZIČKO NJIHALO 347 postaje
Page 362 and 363: 12.7. OPĆENITO RAVNINSKO GIBANJE K
Page 364 and 365:
12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 351
Page 366 and 367:
12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 353
Page 368 and 369:
Poglavlje 13 Prostorno gibanje krut
Page 370 and 371:
13.1. TENZOR TROMOSTI 357 što, ras
Page 372 and 373:
13.1. TENZOR TROMOSTI 359 i tijelo
Page 374 and 375:
13.1. TENZOR TROMOSTI 361 glavnih o
Page 376 and 377:
13.1. TENZOR TROMOSTI 363 Slika 13.
Page 378 and 379:
13.2. EULEROVE JEDNADŽBE GIBANJA 3
Page 380 and 381:
13.3. GIBANJE ZEMLJE 367 Slika 13.5
Page 382 and 383:
13.3. GIBANJE ZEMLJE 369 Vidimo da
Page 384 and 385:
13.4. EULEROVI KUTOVI 371 Slika 13.
Page 386 and 387:
13.4. EULEROVI KUTOVI 373 Lako je v
Page 388 and 389:
13.5. GIBANJE ZVRKA 375 Slika 13.10
Page 390 and 391:
13.5. GIBANJE ZVRKA 377 Ako na desn
Page 392 and 393:
13.5. GIBANJE ZVRKA 379 Slika 13.11
Page 394 and 395:
13.5. GIBANJE ZVRKA 381 postoje dva
Page 396:
Dio III Analitička mehanika 383
Page 399 and 400:
386 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNA
Page 401 and 402:
Page 403 and 404:
Page 405 and 406:
Page 407 and 408:
Page 409 and 410:
Page 411 and 412:
Page 413 and 414:
Page 415 and 416:
Page 417 and 418:
Page 419 and 420:
Page 421 and 422:
Page 423 and 424:
Page 425 and 426:
412 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNA
Page 427 and 428:
Page 429 and 430:
Page 431 and 432:
Page 433 and 434:
Page 435 and 436:
Page 437 and 438:
Page 439 and 440:
Page 441 and 442:
Page 443 and 444:
Page 445 and 446:
432 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA sluč
Page 447 and 448:
434 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA Budu
Page 449 and 450:
436 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA
Page 451 and 452:
438 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Sli
Page 453 and 454:
440 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Za
Page 455 and 456:
442 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA jer
Page 457 and 458:
444 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI za
Page 459 and 460:
446 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI
Page 461 and 462:
448 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 463 and 464:
450 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 465 and 466:
452 BIBLIOGRAFIJA [19] Kotkin G. L.
Page 467:
454 KAZALO POJMOVA Steiner, Jakob,
show all

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice