KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

370 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Slika 13.7: Opis gibanja Zemlje pomoću prostornog stošca (os simetrije je ⃗ L ) i stošca tijela (os simetrije je ê 3 ).
13.4 Eulerovi kutovi
Za opis vrtnje krutog tijela oko nepomične točke, uobičajeno je koristiti tri kutne varijable Φ, Θ
i Ψ, koje se zovu Eulerovi kutovi. Osnovna je ideja posve jednostavna:
- krećemo s dva koordinatna sustava s istim ishodištem (x, y, z) i (x ′ , y ′ , z ′ ), koji se u početku
poklapaju;
- zatim pomoću kutova Φ i Θ, koje smo upoznali u sfernom koordinatnom sustavu, odredimo
novi smjer osi z ′ ;
- i konačno zakrenemo cijeli sustav (x ′ , y ′ , z ′ ) oko osi z ′ za kut Ψ.
Pokažimo u slijedeća tri koraka kako se iz početnog koordinatnog sustava (x, y, z), koristeći
dva pomoćna koordinatan sustava (X, Y, Z) i (X ′ , Y ′ , Z ′ ), stiže u konačni zakrenuti sustav
(x ′ , y ′ , z ′ ):
(x, y, z) ⇒ (X, Y, Z) ⇒ (X ′ , Y ′ , Z ′ ) ⇒ (x ′ , y ′ , z ′ )
z = Z X = X ′ Z ′ = z ′
Φ Θ Ψ
slika 13.9.A slika 13.9.B slika 13.9.C
Povežimo jedinične vektore pojedinih koordinatnih sustava:
prvi korak: zakret oko osi z = Z za kut Φ (slika 13.9.A)
ˆx = (ˆx ˆX ) ˆX + (ˆx Ŷ )Ŷ + (ˆx Ẑ )Ẑ = ˆX cos Φ + Ŷ cos(Φ + π 2 ) + Ẑ cos π 2
= ˆX cos Φ − Ŷ sin Φ,
ŷ = (ŷ ˆX ) ˆX + (ŷ Ŷ )Ŷ + (ŷ Ẑ )Ẑ = ˆX cos( π 2 − Φ) + Ŷ cos Φ + Ẑ cos π 2
= ˆX sin Φ + Ŷ cos Φ,
ẑ = (ẑ ˆX ) ˆX + (ẑ Ŷ )Ŷ + (ẑ Ẑ )Ẑ = ˆX cos π 2 + Ŷ cos π 2 + Ẑ cos 0
= Ẑ ,