KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

433
pa tako konačnomožemo napisati da je
∫ ∞
−∞
Na isti rezultat vodi i jednakost
f(x) δ(x 2 − a 2 ) dx =
δ(x 2 − a 2 ) =
Primjetimo da gornji izvod vrijedi samo za a ≠ 0.
f(a) + f(−a)
.
|2a|
δ(x − a) + δ(x + a)
.
|2a|
(4) Neka je sada argument δ funkcije nekakva opća funkcija g(x) koja ima N izoliranih nultočaka
Naš je zadatak izračunati
g(x n ) = 0, n = 1, 2, · · · , N.
∫ ∞
−∞
f(x) δ[g(x)] dx.
U okolini svake nul-točker g(x), vrijedi Taylorov razvoj oblika
g(x) = (x − x n ) ∂ g
∂ x∣ + O[(x − x n ) 2 ].
xn
Stoga je i
δ[g(x)] ≈ δ[(x − x n ) g ′ (x n )],
gdje smo s g ′ (x n ) označili derivaciju g u točki x = x n . No, gornja δ funkcija je time postala δ
funkcija s linearnim argumentom, koju smo riješili u točki (2): c ≡ g ′ (x n ) i x 0 ≡ x n g ′ (x n ).
∫ ∞
−∞
f(x) δ[g(x)] dx =
=
N∑
n=1
N∑
n=1
∫ xn +∆
x n−∆
f(x) δ[g ′ (x n ) x − x n g ′ (x n )] dx
( )
1
|g ′ (x n )| f xn g ′ (x n )
g ′ (x n )
=
N∑
n=1
1
|g ′ (x n )| f(x n).
S ∆ je označena proizvoljna pozitivna konstanta koja samo osigurava da područje integracije
sadrži nulu δ funkcije. Isti rezultat kao gore, se dobije i iz jednakosti
δ[g(x)] =
N∑
n=1
δ(x − x n )
|g ′ (x n )|
.
(5) Pogledajmo sada integrale koji sadrže derivaciju δ funkcije. Zadatak je izračunati
∫ ∞
−∞
f(x) d δ(x − x 0)
d x
dx.