KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

120 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI
Gornja relacija vrijedi ako je ωT = ±n · 2π za svaki n = 1, 2, 3, · · · .
vrijeme koje zadovoljava ovu relaciju, pa je zato
T = 2π
|ω| = 2π
m
|q| B .
Period je najkraće
Primjetimo da period ne ovisi o početnim uvjetima, tj. početnim brzinama.
Uzmemo li u obzir i jednoliko gibanje u smjeru osi z = v 0,z t, zaključujemo da se čestica giba po
krivulji oblika zavojnice (spirale) koja nastaje kombiniranjem jednolikog pravocrtnog gibanja
u smjeru vektora ⃗ B i jednolikog kruženja u ravnini okomitoj na ⃗ B . Zavojnica je namotana na
valjak polumjera R, čija je jedna izvodnica os z. Visina hoda zavojnice je (slika 5.5.B)
∆ z = z(t + T ) − z(t) = v 0,z T = v 0,z
Naboji izbačeni iz ishodišta istom početnom brzinom v 0,z , a različitim početnim brzinama v 0,x
i v 0,y , gibat će se po zavojnicama različitih polumjera R, ali će se ponovo sastati u točkama
(0, 0, z(n · T )), jer im za jedan ophod treba isto vrijeme T (koje ne ovisi o početnim brzinama).
2π
|ω| .
♣ Promotrimo sada i najopćenitiji slučaj kada su i električno i magnetsko polje različiti od
nule. U tom slučaju treba riješiti nehomogenu diferencijalnu jednadžbu
¨ζ + iω ˙ζ qE sin θ
= i
m .
Opće rješenje ovakve jednadžbe je zbroj rješenja homogene, ζ H i partikularnog rješenja, ζ P
nehomogene jednadžbe
ζ = ζ H + ζ P .
Homogeno rješenje znamo iz (5.25) da je oblika ζ H = a + b exp(−iωt) (frekvencija vrtnje ω je
ista kao i ranije, dok konstante a i b ovise o početnim uvjetima na cijelo rješenje i neće biti
iste kao ranije). Lako je provjeriti da je partikularno rješenje jednostavno linearna 3 funkcija
ζ P = A · t. Očito je
ζ P = A · t, ˙ζ P = A, ¨ζ P = 0,
pa odabir konstante A = E sin θ/B, zadovoljava jednadžbu. Tako smo došli do općeg rješenja
u obliku
ζ = a + be −iωt + E sin θ
B t,
gdje se konstante a i b odreduju iz početnih uvjeta:
ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a + b ⇒ a = −b,
˙ζ (0) = ẋ (0) + i ẏ (0) = v 0,x + iv 0,y = b(−iω) + E sin θ
B ,
a = ı E sin θ
ωB − ıv 0,x + iv 0,y
.
ω
b = −ı E sin θ
ωB + ıv 0,x + iv 0,y
.
ω
3 Općenita linearna funkcija je oblika a + A · t, no konstantni član a je već uračunat kod homogenog dijela rješenja.